Differentialformen als Funktionale auf Kurven

Bitte geben Sie mir einen Verweis auf ein Buch oder Vorlesungsunterlagen, in denen die folgenden Dinge studiert werden.

Lassen$M$Sei eine Riemann-Fläche mit Rand$\partial M$(aber nicht unbedingt glatt$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit genügt, wenn die folgenden Aussagen in diesem Fall Sinn machen).

1. Was bedeutet es für$1$-form$\omega$An$M$haben$\int\limits_\gamma \omega = 0$ $(\operatorname{mod} 2\pi)$für jeden geschlossenen Kreislauf$\gamma$?
2. Wenn$\omega_1$,$\ldots$,$\omega_N$sind geschlossene Formen, die eine Basis bilden$H^1(M)$(de-Rham-Kohomologie) dann gibt es nicht-homotopisch äquivalente Schleifen$\gamma_1$,$\ldots$,$\gamma_N$In$M$so dass$\int_{\gamma_i} \omega_j = \delta_{ij}$. Wie kann man das beweisen? Kann man dazu mehr sagen$\gamma_1$,$\ldots$,$\gamma_N$? Haben sie eine Interpretation in Bezug auf$H_1(M)$(singuläre Homologie)?
3. Wie in 2., wenn$\omega_1$,$\ldots$,$\omega_N$sind geschlossene 1-Formen, die eine Basis bilden$H^1(M,\partial M)$es gibt nicht-homotopisch äquivalente Schleifen$\gamma_1$,$\ldots$,$\gamma_N$, nicht homotopisch äquivalent zu irgendeiner Komponente von$\partial M$, so dass$\int_{\gamma_i} \omega_j = \delta_{ij}$. Was können wir zu diesen Kurven im Vergleich zu Frage 2 sagen?