Komplexes Analysebuch mit Blick auf Riemannsche Flächen?

Ich ziehe komplexe Analyse als mein nächstes Studiengebiet in Erwägung. Es gibt bereits einige Threads, in denen nach Texten zur komplexen Analyse gefragt wird (siehe Buch zur komplexen Analyse und Was ist ein gutes Lehrbuch zur komplexen Analyse? ). Ich suche jedoch etwas Spezifischeres, falls es so etwas gibt.

Gibt es einen netten, langsamen Einführungstext zur komplexen Analyse, der zumindest etwas (einführendes) Material zu Riemann-Oberflächen enthält?

Eine Durchsicht der auf den oben verlinkten Seiten erwähnten Texte ergab keine. Ich bin kein großer Analytiker und bevorzuge eher algebraische, topologische und geometrisch geprägte Bereiche der Mathematik. Ich versuche jedoch, zumindest auf einem grundlegenden Niveau die Kerndisziplinen der Mathematik zu lernen, und ich denke, ich wäre unrecht, wenn ich Komplexe Analysis nicht studieren würde. Zum Hintergrund: Ich habe Grundkenntnisse in reeller Analysis, Algebra (Gruppen-, Ring- und Feldtheorie), linearer Algebra und werde Kenntnisse in Topologie haben.

Zusätzlich zu meinem oben genannten Wunsch nach einem Text zur komplexen Analyse: Gibt es einen, den Sie wegen seiner Sichtweise auf algebraische, topologische oder geometrische Anwendungen der komplexen Analyse empfehlen würden?

Alle Online-Vorlesungsunterlagen (oder preiswerte Bücher) über Riemann-Oberflächen, die nach oder zusammen mit einer Einführung in die komplexe Analyse zugänglich wären, wären ebenfalls willkommen.

EDIT: Nach dem, was sich entwickelt hat, halte ich diese Frage jetzt für angebracht: Gibt es einen komplexen Analysetext, der besonders zu empfehlen wäre, wenn man Riemann-Oberflächen studieren möchte? Bei welchen Themen ist es besonders wichtig, ein gutes Verständnis zu entwickeln?

Sie müssen eine ganze Menge komplexer Analysen lernen, bevor Sie Riemann-Oberflächen studieren. Sobald Sie das getan haben, ist das unten erwähnte Buch von Miranda wahrscheinlich Ihre beste Option, wenn Sie (so wie ich es sehe) Ihren mathematischen Reifegrad berücksichtigen. Eine weitere Option ist Griffiths „Introduction to Algebraic Curves“.
Ich hatte das Gefühl, dass dies der Fall sein könnte, und das könnte der Grund sein, warum ich in komplexen Analysebüchern keine Einführungen dazu sah. Das wollte ich wissen. Danke.
Oben eine neue Frage hinzugefügt.
Zu deiner neuen Frage: Der Stoff in einem üblichen einsemestrigen grundständigen Studium sollte ausreichen. Der Satz von Cauchy, die Residuentheorie, das Maximumprinzip, der Satz der offenen Abbildung und die Tatsache, dass holomorphe Funktionen Potenzreihenentwicklungen haben, als absolutes Minimum. Obwohl es wahrscheinlich hilfreich sein wird, mehr zu wissen. Zum Beispiel verwendet Miranda den Satz von Mittag-Leffler, um den Versuch zu motivieren, Mittag-Leffler-Probleme auf Riemann-Oberflächen und die daraus resultierende Kohomologietheorie zu lösen (aber das ist nicht bis zur Mitte des Buches).
Sehr hilfreich, danke.

Antworten (3)

Komplexe Analyse in einer Variablen von Narasimhan-Nievergelt ist genau das Buch, das Sie suchen.

Es ist vollständig geometrisch und führt Sie von Grund auf nicht nur in Riemann'sche Flächen ein, sondern auch in die Theorie oder holomorphe Funktionen mehrerer Variablen, Abdeckräume, Kohomologie, ...
Dieses einzigartige Buch betont, wie wenig Sie über die wissen müssen klassische Funktion einer komplexen Variablen: nur die vierzig Seiten von Kapitel 1 mit dem treffenden Namen Elementary Theory of Holomorphic Functions .
Ein Buch mit einer ähnlichen Philosophie ist Analyze Complexe von Dolbeault, er von der Dolbeault-Kohomologie, das den Nachteil hat, auf Französisch zu sein (wenn auch auf mathematischem Französisch, das weit entfernt ist von Mallarmé oder Proust French ...)

Es ist eine unterschätzte Tatsache, die in diesen beiden Büchern gezeigt wird, dass das meiste Material, das in Büchern über die komplexe Analyse einer Variablen zu finden ist, für die Untersuchung von Riemannschen Flächen und allgemeiner von komplexen Mannigfaltigkeiten nutzlos ist.
Zum Beispiel sind all die cleveren Berechnungen reeller Integrale durch Residuenrechnung, Auswertung des Konvergenzradius von Potenzreihen, asymptotische Methoden, Weierstraß-Produkte, Schwarz-Christoffel-Transformationen, ... in der komplexen analytischen Geometrie irrelevant: Ich fordere jeden heraus, die kleinste Spur zu finden davon in der Arbeit des kürzlich verstorbenen H. Grauert, dem wohl größten Spezialisten des 20. Jahrhunderts für die Geometrie komplexer analytischer Räume.

Glauben Sie, dass das erste Buch für jemanden mit meinem Hintergrund zugänglich ist (siehe Frage)? Führt es wirklich Dinge wie Abdecken von Räumen und Kohomologie ein, ohne Kenntnisse der algebraischen Topologie vorauszusetzen? Glauben Sie, dass es die Grundlagen der komplexen Analyse abdeckt, die man kennen sollte? Ich möchte vielleicht auf Riemann-Oberflächen hinarbeiten, aber nicht, um Themen zu opfern, die ich in einem typischeren Text lernen würde.
Ja, ja und ja. Sie müssen nichts opfern: Mein Punkt ist, dass Sie wenig komplexe Analyse benötigen, um die Geometrie von Riemann-Flächen zu verstehen. Holomorphe Funktionen sind ein wunderbares Thema, wunderschön und es lohnt sich, es zu studieren, mit vielen Anwendungen in Mathematik und Physik. Aber darum ging es in deiner Frage nicht.
Habe es. Danke.

Ich empfehle Algebraic Curves and Riemann Surfaces von Prof. Rick Miranda.

Müsste das kommen, nachdem ich einige komplexe Analysen gelernt habe? Das ist der Eindruck, den ich aus der Beschreibung bekomme.
Ja, aber das ist die Natur des Themas. Für jede Untersuchung von Riemann-Oberflächen sind solide Kenntnisse der komplexen Analyse erforderlich.
Zum Beispiel müssen Sie in der Lage sein, die folgende Frage zu beantworten, um das Buch von Miranda zu lesen. Die Frage bezieht sich auf das Buch von Forster über Riemann-Oberflächen, aber Miranda verwendet das Ergebnis auch ohne Beweis. math.stackexchange.com/questions/200012/…

Jones und Singerman, Komplexe Funktionen: Ein algebraischer und geometrischer Standpunkt .

Komplexes Analysebuch mit Blick auf Riemannsche Flächen?
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