Riemann-Abbildungssatz, das Konzept einer Riemann-Abbildung

Wenn ich eine Zusammensetzung von Abbildungen konstruiere, die die obere Hälfte der Einheitsscheibe konform zur gesamten Einheitsscheibe abbilden, dann ist diese Abbildung eine Riemann-Abbildung nach dem Riemann-Abbildungssatz D + einfach verbunden ist und nicht die gesamte komplexe Ebene.

Meine Frage ist: Wird eine konforme Abbildung von der oberen Halbebene auf die (offene) Einheitsscheibe als Riemann-Abbildung betrachtet? Was ist mit einer konformen Abbildung von beispielsweise dem ersten Quadranten auf die Einheitsscheibe? Naiverweise würde ich sagen, dass dies einfach verbundene Regionen sind, die nicht die gesamte komplexe Ebene sind.

Meine Vermutung ist, dass diese Vorbildregionen, da sie den Punkt im Unendlichen enthalten, irgendwie der gesamten komplexen Ebene entsprechen - und vielleicht ist dies eher so, dass Sie wissen, was die Riemann-Sphäre ist? (Daher sind dies keine Riemann-Abbildungen.)

Und nach dieser Logik ist eine Abbildung eines vertikalen oder horizontalen Streifens auf die Einheitsscheibe auch keine Riemann-Abbildung.

Antworten (1)

Diese Abbildung ist eine Riemann-Abbildung nach dem Riemann-Abbildungssatz.

Das Riemannsche Abbildungstheorem sagt nicht aus, wie die Abbildung heißt. Es sagt, dass es existiert . Wie man es nennt, ist eine Frage von Konventionen und Definitionen, nicht von Theoremen. Die Konvention, mit der ich vertraut bin, ist (wie auf der Wiki-Seite des Riemann-Mapping-Theorems ):

Riemann-Abbildung = eine holomorphe bijektive Abbildung einer einfach zusammenhängenden Domäne auf die Einheitsscheibe.

Der Abbildungssatz von Riemann ist eine Aussage, dass so etwas für jeden einfach zusammenhängenden Bereich in existiert C , außer C selbst.

Was ist mit einer konformen Abbildung von beispielsweise dem ersten Quadranten auf die Einheitsscheibe? Naiverweise würde ich sagen, dass dies einfach verbundene Regionen sind, die nicht die gesamte komplexe Ebene sind.

Richtig.

diese Vorbildregionen umfassen den Punkt im Unendlichen

Falsch. Sie sind unbeschränkt, enthalten aber den Unendlichkeitspunkt nicht, weil ihr Komplement ebenfalls unbeschränkt ist. In Bezug auf die Riemann-Sphäre , ∞ ist einer ihrer Grenzpunkte.

auch eine Abbildung eines vertikalen oder horizontalen Streifens auf die Einheitsscheibe ist keine Riemann-Abbildung.

Es ist. Dies sind einfach zusammenhängende Bereiche der komplexen Ebene. Sie enthalten nicht den Punkt im Unendlichen.

Ok, vielen Dank, dass du das für mich geklärt hast, @Behaviour. Habt eine tolle Nacht :)
Ich habe eine einfache Folgefrage, wenn es Ihnen nichts ausmacht, zu antworten: @Verhalten: Wenn ich die obere Halbebene betrachte, ist die einzige "Grenze" dieser Region die tatsächliche Achse? Gibt es weitere Grenzen dieser Region? Danke...
Die Grenze wird in Bezug auf einen Umgebungsraum genommen. In Bezug auf das Flugzeug C , die Grenze ist die reelle Linie. In Bezug auf die Riemann-Sphäre C ^ es ist R ∪ { ∞ } .
OK habe es. Vielen Dank, @Verhalten. Habt eine tolle Nacht :)
Entschuldigung, noch eine Frage, @Behaviour: (Wenn ich den Punkt im Unendlichen beispielsweise zur oberen Halbebene oder zu einem Quadranten hinzufüge, die beide unbegrenzte Regionen sind, werden diese Regionen immer noch als einfach verbundene Mengen betrachtet? Es gibt keine Lücke / Loch zwischen der oberen Halbebene und dem Punkt im Unendlichen, richtig? Danke ...
Sie sind einfach verbundene Mengen, aber sie sind nicht mehr offen. Der Abbildungssatz gilt also nicht für sie. Eine offene Menge, die den Unendlichkeitspunkt enthält, muss auch eine Unendlichkeitsumgebung enthalten. Dies bedeutet, dass sein Komplement begrenzt sein muss.
OK habe es. Tausend Dank, @Behaviour. Habt eine tolle Nacht :)
Riemann-Abbildungssatz, das Konzept einer Riemann-Abbildung
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