In Zwischenkapitel VII seiner Gauß-Biographie beschreibt WK Buhler Gauß' Entdeckung einer der wichtigen Eigenschaften, die das charakterisieren Invariante (Kleins absolute Invariante; Gauß nannte sie "Summatorische Funktion"): dass sie jeden komplexen Wert genau einmal annimmt, wenn sie auf einem fundamentalen Bereich für die modulare Gruppenwirkung berechnet wird. Er erwähnt, dass dieses Ergebnis viel später von Dedekind wiederentdeckt wurde.
Mit anderen Worten, dieses Ergebnis sagt das aus ist eine surjektive Funktion ("onto function") vom Fundamentalbereich in die komplexe Ebene. Und das sagt es auch ist injektiv, da es den Fundamentalbereich in einer Eins-zu-Eins-Beziehung auf die gesamte komplexe Ebene abbildet.
Ich habe versucht, in Gauß' Werken nach diesem Ergebnis zu suchen , und ich habe ein Ergebnis gefunden, das dieser Aussage nahe kommt, aber nicht genau; auf p. 478 von Band 3 seiner Werke Gauß sagt:
Die gleichung
hat immer genau eine Lösung in einem bestimmten Bereich.
Gauss gibt keine Einschränkung an und deshalb nehme ich an, dass es "eine beliebige komplexe Zahl" bedeutet. Diese Bemerkung wird von einer Zeichnung eines bestimmten grundlegenden Bereichs begleitet. sind Jacobis Theta-Funktionen, und daher stimmt die linke Seite der Gleichung mit der Definition der Quadratwurzel der "modularen Lambda-Funktion" überein .
Deshalb sagt Gauß das bildet den Fundamentalbereich auf die gesamte komplexe Ebene ab. Nun, das habe ich gelesen Und sind eng miteinander verwandt, aber impliziert das von Gauß geschriebene Ergebnis das später von Dedekind entdeckte Ergebnis? und wenn nicht, kann jemand auf die genaue Stelle in Gauß 'Werken verweisen, an der er dieses Ergebnis angibt?
Ich habe eine Referenz für die Injektivitätseigenschaft von gefunden Funktion, wenn sie auf einen fundamentalen Bereich einwirkt, und dieser bildet den ersten Teil des "besonderen Eigentums". Aber bezüglich der Surjektivität von , Ich suche immer noch.
In einem kurzen (unveröffentlichten) Absatz auf Seite 386 von Band 3 führt Gauß eine Abbildung aus der Menge der binären quadratischen Formen der Diskriminante ein und die obere Halbebene . Zu jedem Formular Gauß assoziiert einen (komplexen) Punkt . Diese Abbildung verbindet die arithmetische Theorie der binären quadratischen Formen (die Gauß in Kapitel V des DA ausführlich behandelt hat) mit ihren funktionentheoretischen Aspekten. Gauß beschreibt dann eine "Summenfunktion" (was Klein später nannte ), als eine Funktion, die unter der Wirkung der gesamten modularen Gruppe konstant bleibt. Er sagt:
Insbesondere wenn die Formulare Und gleichwertig sind, also dann gesetzt Wenn eine ganze Zahl ist oder wenn .
Gauß sagt das hier bleibt bei Anwendung der beiden Generatoren der Modulgruppe konstant (und ändert sich daher bei keiner Kombination dieser Generatoren). Beachten Sie, dass er mit der rechten Halbebene arbeitet (nicht mit der oberen Hälfte), aber die Idee ist ähnlich.
Obwohl dies in Gauß 'Passage nicht ausdrücklich angegeben ist, ist seine arithmetische Definition der eindeutigen reduzierten quadratischen Form (für eine bestimmte Äquivalenzklasse) als eins mit , entspricht unter der Abbildung von Gauß dem Fundamentalbereich für die modulare Gruppe (und damit für ). Aus der Einzigartigkeit der reduzierten Form schließt man darauf ist in der Tat injektiv auf einem fundamentalen Bereich; Dies ist nicht verwunderlich, da dies die anfängliche Motivation für den Aufbau einer grundlegenden Domäne war. Gauß zeichnete grundlegende Domänen für mehrere Untergruppen von (die modulare Gruppe), aber ich habe die eine nicht vollständig gefunden ; Aus seiner Vertrautheit mit diesen Angelegenheiten kann man jedoch schließen, dass er es definitiv wusste.
Alexandre Eremenko
Alexandre Eremenko