Gleichmäßige Konvergenz der Ableitungsfunktionsfolge auf kompakten Teilmengen

Lassen Sie es mich hier kurz machen: Ich glaube, dass die folgende Behauptung wahr ist, da sie auf den Seiten 54-55 in Elias Stein und Rami Shakarchis Complex Analysis (Princeton University Press) einen "Beweis" liefert, was für mich jedoch nicht der Fall ist überzeugend.

Jedenfalls sagt der fragliche Satz das aus

Gegeben$\Omega\subset \Bbb C$eine beliebige offene Teilmenge, wenn$\{f_n\}$, eine Folge von holomorphen Funktionen auf$\Omega$, konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion$f$auf allen kompakten Teilmengen von$\Omega$, Dann$f$ist ebenfalls holomorph$\Omega$ Und$\{f'_n\}$konvergiert gleichmäßig zu$f'$auf allen kompakten Teilmengen von$\Omega$.

Ich verstehe bereits, wie der erste Teil der Behauptung bewiesen wird, aber ich bin mir unsicher über den zweiten Teil (nämlich den Teil in Kursivschrift). Kann mir jemand einen Beweis oder eine Widerlegung nennen? Beachten Sie jedoch, dass das offene Set nicht eingeschränkt ist$\Omega$! Vielen Dank im Voraus.

Für diejenigen, die es interessiert, habe ich Zweifel an Steins Beweis, weil er beweisen will, indem er das zeigt$f_n-f$konvergiert gleichmäßig zu$0$auf jedem

$$\Omega_{\delta}:=\{z\in\Omega\mid d(z,\partial \Omega)<\delta\}.$$ Das ist meiner Meinung nach nur wahr, wenn wir jeden abdecken können $\Omega_\delta$mit einer kompakten Teilmenge von $\Omega$, was hoffnungslos erscheint, wenn $\Omega$ist, sagen wir, eine unbegrenzte Region.