Ich lese Colin Pasks Buch Magnificent Principia und in 16.7.2 erklärt er, dass die Schwierigkeit des 3-Körper-Problems teilweise mit dem Mangel an zusätzlichen Erhaltungsgesetzen zusammenhängt, die uns zur Verfügung stehen. Insbesondere sagt er dies in Bezug auf Heinrich Bruns:
Tatsächlich bewies der Mathematiker und Astronom Ernst Heinrich Bruns 1887, dass es keine weiteren algebraischen Integrale oder Erhaltungssätze [außer der Erhaltung von Energie, Impuls und Drehimpuls] gibt, die uns helfen könnten.
Für dieses Ergebnis von Bruns wird in der Arbeit kein direkter Hinweis gegeben. Mich interessiert Folgendes: 1) Was ist das konkrete Ergebnis der Bezugnahme auf Bruns und wo ist es zu finden? 2) Was hat Bruns ganz allgemein zu unserem Wissen über das 3-Körper-Problem beigetragen?
Poincaré machte sich die Ergebnisse von Bruns in seiner berühmten Abhandlung Le Probléme des Trois Corps [Das Drei-Körper-Problem], Revue générale des sciences pures et appliquees 2, 1-5 (1891), wesentlich zunutze. Hier ist Poincares Zusammenfassung der Ergebnisse von Bruns und seine eigenen, übersetzt von Chenciner in Poincaré and the Three-Body Problem :
„ Die Differentialgleichungen des Dreikörperproblems besitzen eine Reihe von Integralen, die seit langem bekannt sind; dies sind die der Bewegung des Massenschwerpunkts, die Flächenintegrale, die Energie. Es war äußerst unwahrscheinlich, dass sie andere algebraische haben könnten Integrale; aber Herr Bruns hat dies erst in den letzten Jahren rigoros bewiesen. Aber wir können noch weiter gehen; außer den bekannten Integralen lässt das Dreikörperproblem kein analytisches und einheitliches Integral zu; ein sorgfältiges Studium der Eigenschaften von periodischen und asymptotischen Lösungen reicht aus, um dies festzustellen. Daraus kann geschlossen werden, dass die verschiedenen bisher vorgeschlagenen Entwicklungen divergent sind; denn ihre Konvergenz würde die Existenz eines einheitlichen Integrals implizieren .
Chenciner gibt eine umfassende Diskussion und verweist auf Bruns' Originalarbeit, H. Bruns, Über die Integrale des Vielkörper-Problems, Acta Mathematica, Band 11 (1887). Relevant ist auch Poincares Aufsatz Sur la Méthode de Bruns [Über Bruns' Methode], CRAS 1896, t. 123, 1224-1228.
Seltsamerweise gibt es trotz alledem eine konvergente Potenzreihenlösung für das 3-Körper-Problem, die 1913 von Sundman gefunden wurde. Saari gibt einen zugänglichen Bericht über Sundmans Konstruktion in A Visit to the Newtonian N-body Problem via Elementary Complex Variables :
"Ironischerweise tötete eine seiner wichtigsten Schlussfolgerungen das Interesse an einer Untersuchungslinie, sodass dieses spezielle Ergebnis nicht sehr bekannt ist. Es sollte sein; hier „löste“ Sundman das Drei-Körper-Problem gemäß den anerkannten Standards des späten 19. und frühen 20. Jahrhunderts. Körperproblem. Der Preis wurde Poincare 1889 verliehen, obwohl er das ursprüngliche Problem nicht gelöst hatte. (Andererseits enthält Poincares preisgekrönter Aufsatz eine Fülle von Ideen, die nach wie vor einflussreich sind.) Das ursprünglich gestellte Problem wurde schließlich 1913 von Sundman [16] gelöst, als er eine konvergierende Reihenlösung für das Dreikörperproblem fand. Leider konvergiert seine Reihe so langsam, dass im Wesentlichen"
Dies ist ein seltenes Beispiel für eine explizit konstruktive Lösung, die so weit vom praktischen Nutzen entfernt ist. Nichtsdestotrotz gibt es in letzter Zeit ein erneutes Interesse daran, Sundmans Methoden auf die zu verallgemeinern -Körperprobleme mit .
Ich habe nicht genug Reputationspunkte, um diese Frage als Kommentar zu posten, was meine ursprüngliche Absicht war, aber ich kann sie als Antwort posten.
Angesichts der konvergenten Potenzreihenlösung von Sundman, was genau bedeutet Chenciners Übersetzung von Poincare mit "das Dreikörperproblem lässt kein analytisches und einheitliches Integral zu"?