Wie hat Kepler sein drittes Gesetz aus Daten „erraten“?

Es ist erstaunlich, dass Kepler seine drei Gesetze durch das Betrachten von Daten, ohne Taschenrechner und nur mit Stift und Papier bestimmt hat. Es ist denkbar, wie er bewies, dass seine Gesetze die Daten beschrieben, nachdem er sie bereits vermutet hatte, aber was ich nicht verstehe, ist, wie er sie überhaupt erraten hat.

Ich werde mich insbesondere auf Keplers drittes Gesetz konzentrieren, das besagt, dass das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse der Umlaufbahn ist.

Ich nehme an, dass Kepler nur mit Daten über die Planeten gearbeitet hat, plus unseren eigenen Mond und die Sonne. Ich mache diese Vermutung, weil ich nicht glaube, dass Kepler Daten über andere Monde, Kometen oder Asteroiden hatte, die noch nicht mit Teleskopen beobachtet wurden. Wenn dies zutrifft, bedeutet dies, dass Neptun, Uranus und Pluto zu Lebzeiten von Kepler noch nicht entdeckt wurden, dass Kepler weniger als 9 Datenpunkte hatte, mit denen er arbeiten konnte.

Mein Freund behauptet, dass es durchaus vorstellbar ist, wie Kepler diese Beziehung erraten hat (obwohl er keine Methode dafür liefert, wie Kepler es getan haben könnte), und dass Keplers Beobachtungen "nicht so schwer" sind. Als Herausforderung gab ich meinem Freund eine Datentabelle mit einer beschrifteten Spalte X , das andere j , und 9 Koordinaten ( X , j ) die zur Beziehung passen X 4 = j 3 . Ich sagte: "Bitte finden Sie die Beziehung zwischen X Und j “, und wie zu erwarten war, ist ihm das nicht gelungen.

Bitte erklären Sie mir, wie um alles in der Welt Kepler erraten hat, dass diese Beziehung mit so wenigen Datenpunkten funktioniert. Und wenn meine Annahme, dass die Anzahl der Datenpunkte, die Kepler zur Verfügung hatte, gering ist, falsch ist, dann denke ich immer noch, dass es ziemlich schwierig ist, diese Beziehung ohne einen Taschenrechner zu erraten.

In dieser Zeit konnten Wissenschaftler viele astronomische Berechnungen von Hand durchführen (siehe Prosthaphärese und logarithmische Tabellen ) und Kepler war ein sehr, sehr kluger theoretischer Astronom.
Über Keplers Entdeckungen können Sie zumindest Alexandre Koyré, The Astronomical Revolution: Copernicus - Kepler - Borelli (ursprüngliche Ausgabe 1961) lesen.
Die folgenden Antworten sind etwas verwirrend, da sie darauf hinzudeuten scheinen, dass Logarithmen ein wesentlicher Bestandteil von Keplers Einsicht sind. Das ist nicht der Fall. Das Gesetz schreibt das vor P 2 ∝ A 3 , was er hätte erraten können, indem er sich die Größenordnungen der Zahlen angesehen und leicht bestätigt hatte, indem er bemerkte, dass die Handlung von P 2 gegen A 3 ist eine annähernd gerade Linie. Kepler war ein sehr begabter Mathematiker und war besessen von Mustern, daher ist es nicht schwer vorstellbar, dass er viel Zeit damit verbracht hat, Dinge auszuprobieren, bis er darauf stieß.
Angesichts der Tatsache, dass die alten Griechen von der Musik der Sphären sprachen, war es vielleicht kein so großer Sprung, dass Kepler ein Musikintervall als Macht benutzte! nämlich 1,5 die natürliche Quinte.
Eine weitere Biographie von Kepler ist von Arthur Koestler ... The Watershed: A Biography of Johannes Kepler . (Auszug aus The Sleepwalkers .) ISBN 978-0-385-09576-1

Antworten (3)

Sie können Keplers Harmonia Mundi lesen (es gibt eine abgekürzte englische Übersetzung, aber sie enthält diesen Teil). Kepler hat viele Jahre (den größten Teil seines Lebens) nach allen Arten von numerischen Beziehungen gesucht. Die meisten Beziehungen, die er in Harmonia Mundi fand, sind zufällig und für die moderne Wissenschaft wertlos.

Ich stimme Ihrem Freund zu, dass man bei 6 Zahlenpaaren (5 Planeten waren bekannt + Erde) nach einigen Versuchen das 3-D-Gesetz entdecken könnte. (Es gab in der Wissenschaftsgeschichte auffälligere Entdeckungen dieser Art, zum Beispiel Balmers Reihe, die noch beeindruckender ist als das Dritte Gesetz).

Keplers größte Errungenschaft war das Erste Gesetz. Dies war wirklich einer der größten Durchbrüche in der gesamten Wissenschaftsgeschichte. Und er beschrieb selbst ausführlich alle Schritte, die er unternahm, um dies zu entdecken. Inklusive aller Fehler, die er gemacht hat. Diese Beschreibung findet sich in seiner Astronomia Nova. Und es gibt auch eine englische Übersetzung, komplett! So können Sie jeden Schritt verfolgen, den er gemacht hat. Wenn Sie Zeit und Geduld haben.

Logarithmen wurden gerade erfunden, als Kepler Astronomia Nova schrieb. Das dritte Gesetz wurde 10 Jahre später entdeckt. Wenn Sie Logarithmen von Perioden gegen Logarithmen von Entfernungen auftragen, erhalten Sie eine gerade Linie. Es wäre also überraschend, wenn jemand, der die Daten und Logarithmen kennt und versucht, eine Beziehung zu entdecken, dies übersieht :-)

Ich stimme zu, dass es erstaunlich ist und Keplers Einsicht in numerische Muster, die an Eulers erinnert, Ehre macht. Kepler brauchte zusätzliche 12 Jahre, um das dritte Gesetz zu entdecken, nachdem er die ersten beiden entdeckt hatte, vielleicht genau wegen der relativen Knappheit von Datenpunkten.

Laut Kepler „ tauchte“ nach jahrelanger Suche nach weiteren Mustern am 8. März 1618 plötzlich eine „wunderbare“ Idee in seinem Kopf auf, dass „das Verhältnis zwischen den Periodenzeiten zweier Planeten genau anderthalbmal das Verhältnis ist der mittleren Entfernungen". Mit anderen Worten, er konzipierte etwas, das wir eine lineare Log-Log-Anpassung zwischen mittleren Entfernungen und Perioden nennen würden. Es passte aber nicht ... zunächst wegen eines Rechenfehlers. Aber am 15. März »kam« ihm die Idee wieder, und er rechnete richtig.

Eine plausible Spekulation ist, dass Kepler seine wundersame Inspiration durch das Lesen von Napiers 1614 erschienener Arbeit über Logarithmen Ende 1616 erhielt. Es ist unwahrscheinlich, dass er Diagramme oder Diagramme verwendete, aber wenn er mittlere Entfernungen und Perioden unter Verwendung von Napiers Tabellen in ihre Logarithmen umwandelte, das konstante Proportionalitätsverhältnis von 1 1 2 zwischen den beiden wäre aufgefallen. Sein Bericht legt jedoch nahe, dass er sich zuerst ein Muster in dieser Form ausgedacht und erst dann die Berechnungen durchgeführt hat. Später schrieb er sein eigenes Buch über Logarithmen (veröffentlicht 1621) und verwendete sie in Berechnungen für Rudolphine Tables .

Ein Wort der Vorsicht zu Keplers Selbstberichterstattung. Er erzählte eine atemberaubend faszinierende Geschichte über die Entdeckung der ersten beiden Gesetze in Astronomia Nova. Aber ... "Jüngste Forschungen, insbesondere die von William H. Donahue, haben gezeigt, dass der Bericht, den Kepler seinen Lesern anbietet, keine wahre Geschichte des Verlaufs seiner Forschung ist - etwas, das Kepler nie behauptet hat -, sondern eher ein didaktisches oder rhetorische Pseudogeschichte", siehe Voelkel, The Composition of Kepler's Astronomia Nova .

Jeder, der sich mit Mathematik beschäftigt, wird wissen, wie gute Ideen einfach im Kopf auftauchen können, ohne dass ein erkennbarer Gedankengang zu ihnen führt. Es ist sehr mysteriös. Manchmal denke ich, es lohnt sich, das im Hinterkopf zu behalten, wenn wir uns fragen: "Wie konnte jemand darauf kommen?". Wenn Ihnen die Lösung von Aufgabe 4.1.5 blitzartig eingefallen ist, stellen Sie sich einfach vor, was für ein nukleares Ereignis es gewesen sein muss, als Kepler oder Gauß dasselbe passierte ...
Eigentlich lernte Kepler Logarithmen von ihrem Miterfinder Jobst Bürgi , der in seinem Labor arbeitete. Quoth O'Connor-Robertson : „Es gibt starke Beweise dafür, dass Kepler die Idee für sein drittes Gesetz der Planetenbewegung aus dem Nachdenken über Logarithmen hatte, und es muss durch Diskussionen mit Bürgi gewesen sein, dass Logarithmen ein allgemeines Thema auf Hradschin waren. (...) Kepler schrieb über Bürgis Logarithmen in der Einleitung zu seinen Rudolfinischen Tafeln (1627). (...)“
Ihr Link zu "Voelkels Buch" funktioniert nicht. Bitte beheben Sie das Problem und fügen Sie, wenn möglich, einen Verweis auf die Arbeit von Donahue hinzu.

Keplers 3. Gesetz könnte auf der Grundlage der in Ptolemaios Almagest (2. Jahrhundert n. Chr.) Erwähnten Orbitalparameter abgeleitet worden sein . Dabei war es nicht wichtig, dass Kepler modernere Beobachtungen mit höherer Genauigkeit zur Verfügung hatte oder dass er entdeckt hatte, dass die Bahnen Ellipsen statt Kreise waren. Die folgende Grafik zeigt die aus dem Almagest abgeleiteten Bahngrößen (a) und Perioden (P) als kleine Quadrate und zeigt Keplers 3. Gesetz als gerade Linie. Die Korrespondenz ist gut genug, um das 3. Gesetz von Kepler aus den Datenpunkten abzuleiten.

Keplers 3. Gesetz aus den Daten von Ptolemäus

Die entscheidende Erkenntnis, die zuerst von Kopernikus erlangt wurde (siehe seinen Commentariolus , geschrieben einige Zeit vor 1514), war, dass das heliozentrische Modell des Sonnensystems es erlaubte, die Größen der Umlaufbahnen (relativ zu der der Erde) aus den verfügbaren abzuleiten Beobachtungen. Ohne diese Einsicht hätte Kepler die Größe der Umlaufbahnen der Planeten nicht gekannt und hätte nicht die Daten gehabt, aus denen er sein 3. Gesetz ableiten könnte.

Bei einem minderwertigen Planeten, der näher an der Sonne liegt als die Erde, bestimmt die Größe seiner Umlaufbahn relativ zu der der Erde seinen größten Winkelabstand von der Sonne (ihre maximale Elongation), wie von der Erde aus gesehen. In Bezug auf das im Almagest verwendete geozentrische Modell entspricht die Größe der Umlaufbahn der Größe des Epizyklus des Planeten.

Für einen überlegenen Planeten, der weiter von der Sonne entfernt ist als die Erde, bestimmt die Größe der Erdumlaufbahn im Verhältnis zu der des Planeten die Größe der Oppositionsschleife des Planeten, wo der Planet eine scheinbare rückläufige Bewegung in der Nähe seiner Opposition zur Sonne zeigt. In Bezug auf das geozentrische Modell entspricht die Größe des Epizykels des Planeten einem Übermaß der Umlaufbahn, da der Epizykel des Planeten der Umlaufbahn der Erde entspricht.

Ptolemäus gibt die Größe der Epizyklen als an

  • Merkur: 22;30 = 22,5 von 60 ( Almagest , IX 9, Toomer Edition)
  • Venus: 43 + 1/6 von 60 (X 2)
  • Mars: 39;30 = 39,5 von 60 (X 8)
  • Jupiter: 11;30 = 11,5 von 60 (XI 2)
  • Saturn: 6;30 = 6,5 von 60 (XI 6)

Die abgeleiteten Orbitalgrößen sind relativ zu denen der Erde:

  • Quecksilber: 22,5/60 = 0,375
  • Venus: 43,17/60 = 0,7194
  • Erde: 1
  • Mars: 60/39,5 = 1,5190
  • Jupiter: 60/11,5 = 5,2174
  • Saturn: 60/6,5 = 9,2308

Die Umlaufzeit der Planeten folgt aus ihrer mittleren täglichen Bewegung in Längengrad (für höhere Planeten) oder Anomalie (für untere Planeten). Ptolemäus gibt die folgenden mittleren täglichen Bewegungen in Anomalie (Grad pro Tag) an, dh Bewegung entlang des Epizyklus:

  • Merkur: 3;6,24,6,59,35,50 = 3,106699 (IX 3)
  • Venus: 0;36,59,25,53,11,28 = 0,6165087 (IX 3)

und die folgenden mittleren täglichen Bewegungen in Längengrad (Grad pro Tag), dh Bewegung entlang des Deferenten:

  • Sonne: 0;59,8,17,13,12,31 = 0,9856353 (III 1)
  • Mars: 0;31,26,36,53,51,33 = 0,5240597 (IX 3)
  • Jupiter: 0;4,59,14,26,46,31 = 0,08312244 (IX 3)
  • Saturn: 0;2,0,33,31,28,51 = 0,03348854 (IX 3)

Für die unteren Planeten müssen wir die Bewegung der Sonne in Längsrichtung zu der Bewegung des Planeten in Anomalie addieren, um ihre Bewegung relativ zur Himmelskugel zu erhalten. Die abgeleiteten Umlaufzeiten in Tagen und Jahren sind

  • Quecksilber: 360/(3,106699 + 0,9856353) = 87,96935 → 0,2408492
  • Venus: 360/(0,6165087 + 0,9856353) = 224,6989 → 0,6151977
  • Erde: 360/0,9856353 = 365,2467 → 1
  • Mars: 360/0,5240597 = 686,9446 → 1,880769
  • Jupiter: 3606/0,08312244 = 4330,961 → 11,85763
  • Saturn: 360/0,03348854 = 10749,95 → 29,43202

Diese Orbitalgrößen und Perioden werden im Diagramm angezeigt.

Es kann sein, dass die durchschnittlichen täglichen Bewegungen noch für die Präzession korrigiert werden müssen (von Ptolemäus gesagt, dass sie mit einer Rate von 1 Grad pro 100 Jahre arbeiten), aber das macht für das Diagramm nur einen sehr geringen Unterschied.

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