Was ist die Logik hinter der Zerlegung eines abgeleiteten Operatorsymbols? In der Bevölkerungswachstumsgleichung? [Duplikat]

Warum ist dieser Algebra-Rechentrick legal?

D j D T = K j

1 j D j D T = K

... dann hat mein Lehrer etwas Unlogisches getan, er hat den Differentialoperator zerlegt D j D T hinein 1 D T ∗ D j und benutzte diese "Form" mit den Gesetzen der Arithmetik, um die zu "kürzen". 1 D T indem man beide Seiten mit multipliziert D T

D T ∗ D j D T 1 j = K ∗ D T

D j = K ∗ j ∗ D T

Warum ist das möglich? Hängt das mit der Kettenregel zusammen?

Dies ist in der Tat ein illegaler Schritt. Es zeigt jedoch, warum wir Ableitungen so schreiben, dass sie wie Brüche aussehen: Auch wenn solche Manipulationen nicht korrekt sind, erhalten sie am Ende sehr oft das richtige Ergebnis.

Antworten (2)

Die richtige Art, darüber nachzudenken, ist wie folgt:

D j D T = K j ⟺ 1 j D j D T = K .

Daher

1 j D j D T − K = 0.

Jedoch

1 j D j D T = D D T Protokoll ⁡ | j ( T ) | .

Wenn wir also unsere Gleichung in Bezug auf integrieren T , was wir finden, ist das

∫ ( D D T Protokoll ⁡ | j ( T ) | − K ) D T = C .

Mit dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung erhalten wir

Protokoll ⁡ | j ( T ) | − K T = C

was sich leicht lösen lässt. Wie Sie sehen, haben wir die Beziehung verwendet 1 j D j D T = D D T Protokoll ⁡ | j ( T ) | die auf der Kettenregel beruht (seit j ist eine Funktion von T ). Die symbolische Manipulation, die Ihr Professor vorgenommen hat (was viele Leute tun), ist wirklich nur eine Umverpackung der Kettenregel. Es ist seit der Notation nicht streng D j D T soll keinen Bruch darstellen - es ist lediglich eine angepasste Notation Δ j Δ X Steigungen von Sekanten darstellen. Es ist eine praktische Notation, wie solche Berechnungen zeigen (Sie können es sich als Bruch ohne zu viele Probleme vorstellen 1D ).

Diese Art der Manipulation kann rigoros gemacht werden, aber auch ohne die beiden Gleichungen

D j D T = K j
Und
D j = K j D T
kann als konsistent angesehen werden.

Die erste sagt die Änderungsrate von j (gegenüber T ) ist proportional zum Wert von j . Der zweite sagt, dass eine kleine Änderung D T In T bewirkt die Kleinigkeit K j D T In j .

(Ich denke, es gibt einen Fehler in Ihrer Version der zweiten Gleichung. Wenn Sie ihn beheben, werde ich diese Antwort bearbeiten.)

Ich weiß, dass die Leute gerne das differenzielle Argument vorbringen, aber es ist ein Umpacken von Grenzen ohne die übliche Strenge von Grenzen und hat meiner Meinung nach die gleichen internen Inkonsistenzen wie das, was der Professor von OP getan hat. Ich stimme nicht zu, dass dies ein rigoroser Ansatz ist (Unterschiede sind wieder geliehene Ideen von Δ X ), aber da gehöre ich wahrscheinlich zu einer starken Minderheit. Ich werde nicht ablehnen, da dies für die meisten Menschen eine vernünftige Antwort ist. Ich drücke nur meine Ansicht aus.
@CameronWilliams Ich stimme zu (und sagte), dass es nicht streng ist. Aber es ist definitiv ein nützlicher Weg, um über Analysis nachzudenken, wenn Sie versuchen, echte Probleme / Anwendungen zu lösen. In diesem Fall sind beide Gleichungen gute Möglichkeiten, das exponentielle Wachstum zu verstehen. Wenn Newton, Leibniz und dann Euler heute mit der Strenge einiger Studiengänge zur Infinitesimalrechnung argumentieren müssten, wären sie vielleicht nicht in der Lage gewesen, die Infinitesimalrechnung zu erfinden und dann zu nutzen.
Das ist sehr wahr. Ich habe möglicherweise falsch interpretiert, worauf Sie sich bezogen haben, als Sie sagten: "[es] kann rigoros gemacht werden." Mit "dieser Art von Manipulation" dachte ich, Sie bezögen sich auf Ihr eigenes Argument, aber ich sehe jetzt, dass Sie das Argument des Professors von OP meinten. Viele Leute berufen sich gerne auf Differentiale aus der Differentialgeometrie als Rechtfertigung für diese Manipulation, aber ich habe das Gefühl, dass dies nicht annähernd das ist, was Studenten der Analysis denken D X . Dort ist es fast per Definition, dass die Manipulationen in diesem Fall funktionieren.
Was ist die Logik hinter der Zerlegung eines abgeleiteten Operatorsymbols? In der Bevölkerungswachstumsgleichung? [Duplikat]
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v