Gibt es Konzepte in der Nichtstandardanalyse, die für einen einführenden Analysisstudenten nützlich sind?

Ed Nelson hatte dies in seinem Buch Radically Elementary Probability Theory demonstriertdass ein guter Teil der Wahrscheinlichkeit Studienanfängern klar gemacht werden kann, ohne sich auf die Maßtheorie zu berufen, indem man den Frequenzansatz von Mises verwendet. Es gibt andere Gewinne für verschiedene Kurse. Aber vor allem ermöglicht die Nichtstandardanalyse den Schülern, die Triumphe und Tragödien auf dem Weg der Mathematik besser zu verstehen. Unsere Vorfahren Wallis, Gregory, Barrow, Newton, Leibniz, Euler, Cauchy und viele andere waren Genies und zu versuchen, ihre Denkweisen zu verstehen, ist viel besser, als die großen Meister arrogant zu beschuldigen, zweitklassige Denker in einem ähnlichen Stil zu sein die von Kline, zum Beispiel: „Der Nettoeffekt der Bemühungen des Jahrhunderts, den Kalkül zu rigorosisieren, insbesondere die von Giganten wie Euler und Lagrange, bestand darin, ihre Zeitgenossen und Nachfolger zu verwirren und in die Irre zu führen. Sie waren im Großen und Ganzen

Ein nützliches Konzept ist die Leibnizsche Unterscheidung zwischen zuordenbarer und nicht zuordenbarer Zahl (laut Historiker Eberhard Knobloch stammt die Unterscheidung von Cusanus ; Galileis Unterscheidung zwischen Quanten und Nicht-Quanten ist ebenfalls auf Cusanus zurückzuführen). In Robinsons Framework wird dies in Form einer Unterscheidung zwischen einer Standard- und einer Nichtstandardnummer implementiert. Daher sind gewöhnliche reelle Zahlen Standard, während Infinitesimale und unendliche Zahlen nicht standardisiert sind. Die Summe$\pi+\epsilon$Wo$\epsilon$ist infinitesimal ist auch kein Standard. Die beiden Domänen sind durch die Standardteilfunktion, auch Schatten genannt, miteinander verbunden . Dies ist für jedes endliche Hyperreal definiert. Der Standardteil rundet jede endliche Hyperreelle auf ihre nächste reelle Zahl.

Um zu veranschaulichen, wie nützlich dies in der Analysis ist, beachten Sie, dass die Ableitung von$y=f(x)$kann als Schatten von berechnet werden$\frac{\Delta y}{\Delta x}$Wo$\Delta x$ist ein Infinitesimal$x$-Erhöhung und$\Delta y$die entsprechende Änderung in$y$.

Kurze Meinungsantwort.

Ich denke, die Tatsache, dass die Verwendung von Infinitesimalzahlen rigoros gemacht werden kann, ist der wichtigste Beitrag der Nichtstandardanalyse auf der Ebene der elementaren Infinitesimalrechnung. Das sollte Schülern und Lehrern die Möglichkeit geben, selbstbewusst mit der Intuition zu arbeiten, die Infinitesimals bieten. Ich denke nicht, dass es nützlich oder notwendig ist, mit formaler Nichtstandardanalyse zu arbeiten, genauso wenig wie es notwendig ist, eine Definition der reellen Zahlen bereitzustellen, die ausreicht, um rigoros mit gewöhnlicher Analyse zu arbeiten.