Student der Analysis im ersten Jahr: Warum ist die Ableitung nicht die Steigung einer Sekante mit einem infinitesimal kleinen Abstand, der die Punkte trennt?

Denn nach meinem Verständnis schneidet sie die Kurve nur an einem Punkt, um eine Tangente zu sein, aber Δx nähert sich Null, erreicht sie jedoch nie, also muss Δx größer als Null sein, aber unendlich klein, richtig?

Sie haben Recht. Wir erreichen diesen Punkt nie . Wir nehmen eine Grenze.

Der umgangssprachliche Ausdruck „auf den Punkt gebracht“ ist eine gute anthropomorphe Beschreibung. Grenzen ermöglichen es uns, die Beschränkungen der reellen Zahlen zu erweitern, indem wir ins Unendliche und Infinitesimale vordringen. Technisch gesehen müssen wir jedoch Grenzen richtig definieren, um uns in ein solches Gebiet vorzuwagen. Dies wird oft mit der Epsilon-Delta-Formalisierung eingeführt.

Angenommen, es gibt eine Grenze$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$. Dann für jeden$\epsilon>0$, es gibt welche$\delta>0$so dass wann immer$0<\Delta x<\delta$, wir finden$|f'(x) - \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}|<\epsilon$.

Wir können uns den letzten Absatz heuristisch wie folgt vorstellen: Unsere Ableitung existiert wenn für jede positive Zahl$\epsilon$Und$\delta$, einschließlich der lächerlich kleinen Zahlen, die Sie sich jemals vorstellen können , wann immer$\Delta x$zwischen Null und einer dieser lächerlich kleinen Zahlen gefangen ist, ist der Unterschied zwischen unserer Ableitung und dem ursprünglichen Ausdruck nicht wahrnehmbar.

Aber warte mal, sagst du

...Δx muss größer als Null sein, aber unendlich klein, richtig?

Die Epsilon-Delta-Definition scheint das ebenfalls anzudeuten, aber es gibt einen Haken:

Dies ist nicht weniger als eine echte positive Zahl$\epsilon$. Dies ist weniger als JEDE MÖGLICHE reelle positive Zahl$\epsilon$. Ein solcher Begriff existiert nur im Formalismus einer Grenze und ist keineswegs eine messbare Größe. Das ist mit infinitesimal gemeint.

Aufgrund des Limits kann die Ableitung also keine mögliche Sekantenlinie darstellen. Es gibt keine zwei entsprechenden Punkte$x+\Delta x$Und$x$die sind nicht zu unterscheiden! Der Wert, den wir erreichen, ist zu dem konvergiert , der die Steigung der Tangente darstellt.

Hinweis hinzugefügt: $\Delta x\rightarrow 0$bedeutet das nicht nur$\Delta x$läuft durch die positiven Zahlen in Richtung Null. Damit die Grenze existiert, benötigen wir normalerweise, dass sie zweiseitig ist, was bedeutet, dass$\Delta x\rightarrow0^+$Und$\Delta x\rightarrow0^-$muss das gleiche Ergebnis liefern. In jedem Fall ist der Unterschied zw$\Delta x$und Null wird verschwindend klein.

Sie behandeln den Begriff "Tangente" als bereits vorhanden und fragen, wie wir sagen können, dass die Ableitung (die Steigung) der Tangente ist. Aber die Situation ist komplexer – indem wir die Ableitung definieren, definieren wir , was wir in vielen Fällen unter Tangente verstehen, in denen es kein solches vorher existierendes Konzept gab. Die Aufgabe besteht also darin, den bereits bestehenden, eingeschränkteren Begriff "Tangente" zu klären und zu prüfen, ob er in den Fällen, in denen er zutrifft, mit dem durch die Ableitung induzierten übereinstimmt.

Ihre Beschreibung der Tangente als Schnittpunkt der Kurve an einem Punkt erfasst nicht das bereits vorhandene Konzept der Tangente. Betrachten wir vier Beispiele:

A)$f(x)=x^3$bei$x=1$. Die Tangente fällt an zwei Punkten mit der Kurve zusammen (bei$x=1$und bei einigen negativ$x$).

B)$f(x)=x$bei$x=0$. Die Tangente fällt überall mit der Kurve zusammen. Und was noch schlimmer ist, jede andere Linie durch den Ursprung schneidet die Kurve nur einmal – also ist nach Ihrer Definition die Tangente die einzige Nicht-Tangente.

C)$f(x)=x^3$bei$x=0$. Hier fällt die Tangente tatsächlich nur in einem Punkt mit der Kurve zusammen, aber die Kurve liegt auf verschiedenen Seiten davon, und es ist zumindest nicht offensichtlich, wie man dies von einer gewöhnlichen Linie unterscheidet, die eine Kurve ohne Berechnung schneidet.

D)$f(x)=x^2\sin\frac1x$bei$x=0$. Hier ist die durch Kalkül definierte Tangente (die$x$-Achse) schneidet die Kurve unendlich oft in beliebiger Umgebung des Ursprungs. Ich kenne keine Möglichkeit, dies als Tangente ohne Kalkül zu definieren.

Um Ihre Frage zu präzisieren, müssten Sie also klar definieren, wie "Tangente" vor dem Aufkommen der Analysis verwendet wurde und für welche Fälle sie galt, und dann könnten wir prüfen, ob die Definition der Analysis damit übereinstimmt (und erweitert es).

Ich mag Ihre Anfangszeile "Ich habe Probleme mit dem Grenzwertansatz für die Analysis, seit ich von der Infinitesimaldefinition gehört habe." +1 dafür. Die kurze Antwort auf Ihre Frage liegt in dieser Zeile aufgrund des folgenden nicht mathematischen Theorems:

Ein nicht-mathematisches Theorem : Für Anfänger in der Analysis gibt es keine solide Theorie der Infinitesimalzahlen, und daher führt jeder Ansatz, der auf Infinitesimalzahlen basiert, zwangsläufig zu Verwirrung .

Das grundlegende Problem mit einem Infinitesimal ist, dass es versucht, etwas zu beschreiben, das kleiner als jede positive Zahl und noch nicht Null ist. So etwas gibt es im reellen Zahlensystem nicht. Es gibt eine Möglichkeit, "Infinitesimale auf solide Weise" zu definieren, die als "Nicht-Standard-Analyse" bezeichnet wird, aber nicht für ein Anfänger-Lernkalkül geeignet ist.

Es ist etwas ironisch, aber auch überraschend, dass die Wiedergeburt der Analysis mit der Idee der Infinitesimals geschah und viele Mathematiker mit einer ähnlichen Verwirrung konfrontiert waren wie OP, und daher gab es eine konzertierte Anstrengung der mathematischen Gemeinschaft, die Infinitesimale vollständig zu verwerfen und die Infinitesimale auf eine Weise zu präsentieren, die es ist klingen und daher weit weniger verwirrend. Abgesehen von den Infinitesimalzahlen gab es noch ein weiteres Problem mit der Infinitesimalrechnung, und das war, dass viele wichtige und tiefgründige Theoreme keine Beweise hatten, und dieses letzte Problem wurde durch eine richtige Theorie der reellen Zahlen gelöst.

Im vorigen Absatz habe ich die „Wiedergeburt der Analysis“ erwähnt, weil die Geburt der Analysis weit zurück in der Zeit von Archimedes stattfand und die Griechen diejenigen waren, die die Analysis (hauptsächlich die Integralrechnung in ihren Grundlagen) ohne Infinitesimale entwickelt hatten, und sie hatten auch eine eigene Theorie der reellen Zahlen. Leider verfügten sie nicht über das Zeug zur Differentialrechnung, das von Leuten wie Newton und Leibniz so sehr verfochten wurde, dass die sehr reine Theorie der Analysis für lange Zeit in Vergessenheit geriet.

Es ist unser großes Glück, dass der Infinitesimal-Ansatz in unserer Zeit verworfen wurde. Die Definition der Grenze, auf die Sie sich konzentrieren sollten, ist diejenige, die beteiligt ist$\epsilon, \delta$weil sie weit weniger verwirrend sind, wenn sie richtig präsentiert werden. Auch einige Lehrbücher für Analysis versuchen, Grenzen zu lehren, indem sie auf den Begriff der Ableitung springen. Eine im Begriff eines Derivats enthaltene Grenze ist eine „schwierige Art von Grenze“ (nämlich die „unbestimmte Form“)$0/0$) und es ist besser, einen solchen Ansatz zu vermeiden. Ein Anfänger ist gut dran, wenn er Limit studiert, ohne etwas über Derivate zu wissen, und dann später spezielle Arten von Limits lernt, die Derivate genannt werden.

Wie auch immer, kommen wir auf Tangenten, Sekanten und Ableitungen zurück. Das geometrische Konzept einer Sekante ist für jede Art von Kurve ohne Kalkül definiert, aber der Begriff der Tangente an einen Punkt auf einer Kurve kann nicht rein geometrisch definiert werden, ohne Kalkülkonzepte zu verwenden. Das Konzept der Tangente existiert nicht a priori , sondern wird in Bezug auf die Ableitung definiert . Eine Ausnahme besteht darin, dass eine Tangente an einen Kreis definiert werden kann, ohne auf Kalkül zurückzugreifen, indem sie einfach als eine Linie definiert wird, die senkrecht zum Radius am betrachteten Punkt steht.

Die Idee, dass eine Sekantenlinie zu einer Tangente wird, wenn die Sekantenpunkte unendlich nahe beieinander liegen, ist eine völlig nicht strenge Idee und wird von Lehrern verwendet, um irgendwie eine geometrische Interpretation für das Konzept der Ableitungen bereitzustellen. Es geht nichts über „unendlich“ nah. Zwei Punkte sind entweder gleich oder haben einen bestimmten Abstand zueinander. Eine Sekante ist eine Linie, die im Wesentlichen zwei Punkte auf einer Kurve erfordert. Eine Tangente behandelt normalerweise einen Punkt auf der Kurve. Aus einer Sekante kann also keine Tangente werden .

Was der Kalkül hier zu bieten hat, ist Folgendes. Lassen$f$eine Funktion sein, die in einem bestimmten Intervall definiert ist$I$und lass$C$sei die Kurve, die der Graph der Funktion ist, und sei$c$ein beliebiger Punkt im Intervall sein$I$. Lassen Sie den Punkt$P$auf der Kurve$C$Sei$(c, f(c))$. Betrachten Sie einen anderen Punkt$x \in I$so dass$x \neq c$und lass$Q = (x, f(x))$sei der entsprechende Punkt auf der Kurve. Die Sekantengleichung$PQ$wird von gegeben

Um die im Titel Ihrer Frage enthaltene Frage zu beantworten, ist die Ableitung der Schatten des Verhältnisses der Infinitesimalzahlen$\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Manchmal wird der Schatten auch als Standardteil bezeichnet . Die Ableitung ist also auch beim infinitesimalen Ansatz nicht exakt das Verhältnis, sondern nur das auf die nächste reelle Zahl gerundete Verhältnis . Dabei handelt es sich um eine infinitesimale Wertänderung.

Die Frage "Wie kann man durch Null teilen?" ist einer, der viele Autoren in der Vergangenheit gestört hat, einschließlich George Berkeley. In einer Reihe neuerer Artikel haben wir die Situation geklärt. Die Situation ist, dass Leibniz bereits eine zufriedenstellende Erklärung in Bezug auf seine verallgemeinerte Gleichheitsbeziehung „bis zu“ (ein vernachlässigbarer Begriff) geliefert hat. Nicht alle haben das erkannt und insbesondere Berkeley hat das nicht erkannt. Rückblickend ist klar, dass Leibniz' theoretischer Rahmen zur Rechtfertigung von Infinitesimalzahlen solider begründet war als Berkeleys empiristische (und etwas wirre) Kritik daran.