Hat sich das Ergebnis des Hilbert-Hotel-Paradoxons nach dem Beweis p=tp=t\mathfrak p=\mathfrak t geändert?

NEIN,$\mathfrak{p}$Und$\mathfrak{t}$sind zwei spezifische Unendlichkeiten, die in gewissem Sinne (möglicherweise) größer sind als die mit bezeichnete Unendlichkeit$\infty$in dieser Frage.

Ihre Frage ist so sinnvoll wie: „Ich hatte zwei verschiedene Beutel mit Steinen, und ich habe nachgesehen, und es stellt sich heraus, dass die beiden Beutel tatsächlich die gleiche Anzahl von Steinen enthalten. Sagt das irgendetwas über diesen dritten Beutel mit Steinen, den ich gerade gefunden habe? ?". Ich glaube, diese Analogie ist trügerisch gut, da$\mathfrak{p}$Und$\mathfrak{t}$sind Kardinäle , die nur eine Verallgemeinerung dessen sind, was wir normalerweise mit "Anzahl von Dingen in einer Sache" meinen; Zwei Mengen haben dieselbe Kardinalität , wenn es eine Möglichkeit gibt, die Elemente eins zu eins abzugleichen, ohne dass auf beiden Seiten Elemente fehlen.

Ich vermute stark, dass Ihrem mentalen Modell ein sehr großes Stück fehlt, nämlich die Tatsache, dass es (unendlich!) viele verschiedene Kardinäle gibt :$\mathbb{N}$ist streng kleiner als$\mathbb{R}$(Schauen Sie zum Beispiel Cantors Diagonalargument nach).

Ich werde tatsächlich abschweifen und mein Lieblingsargument das geben$\mathbb{R}$ist unzählbar, gerendert von http://people.math.gatech.edu/~mbaker/pdf/realgame.pdf :

Alice und Bob spielen ein Spiel. Alice beginnt bei 0, Bob beginnt bei 1, und sie wechseln sich ab (beginnend mit Alice), wobei jeder eine Nummer zwischen den aktuellen Nummern von Alice und Bob auswählt. (Also beginne mit$A:0$,$B:1$, Dann$A:0.5$,$B:0.75$,$A:0.6$,$\dots$ist ein Beispiel für den Beginn einer gültigen Abfolge von Spielen.) Wir fixieren eine Teilmenge$S$von$[0,1]$im Voraus, und Alice gewinnt, wenn am Ende aller Zeiten die von ihr gewählte Zahlenfolge zu einer Zahl in konvergiert$S$; Sonst gewinnt Bob. (Alices Folge konvergiert: Sie nimmt zu und wird nach oben begrenzt durch$1$.)

Es ist offensichtlich, dass wenn$S = [0,1]$dann gewinnt Alice, egal welche Strategie einer von beiden anwendet: eine konvergente Sequenz, aus der gezogen wird$[0,1]$muss zu etwas in konvergieren$[0,1]$.

Auch wenn$S = \{s_1, s_2, \dots\}$kann eins zu eins mit abgeglichen werden$\mathbb{N}$(das ist,$S$ ist zählbar , wobei ich gerade ein Matching von aufgeschrieben habe$S$mit$\mathbb{N}$) dann hat Bob eine Gewinnstrategie: in Bewegung$n$, wählen$s_n$wenn möglich, und ansonsten alle legalen Schritte unternehmen. (Denken Sie ein paar Minuten nach, um zu sehen, warum das wahr ist: wenn Bob nicht auswählen könnte$s_n$zum Zeitpunkt$n$, dann hat entweder Alice bereits eine Nummer größer gewählt, in diesem Fall kann sie nie wieder in die Nähe zurückkommen$s_n$wieder, oder Bob hat bereits eine Nummer ausgewählt$b$die kleiner ist, in diesem Fall ist sie daran gehindert, sie zu erreichen$s_n$weil sie nicht vorbei kommt$b$.)

Also wenn$[0,1]$zählbar ist, muss Alice gewinnen, egal was einer von ihnen tut, aber Bob hat eine Gewinnstrategie; Widerspruch.

Am Hotel Hilbert hat sich nichts geändert. Es handelt sich um abzählbare unendliche Mengen, also unendliche Mengen$N$so dass es eine Bijektion dazwischen gibt$N$und der Satz$\Bbb N$von natürlichen Zahlen. Die Gleichheit$\mathfrak p=\mathfrak t$hat damit nichts zu tun.

Aber in der Tat, wenn$I$eine unendliche Menge ist und wenn$f$ist eine endliche Teilmenge von$I$mit, sagen wir$7$Elemente, dann$I\setminus F$hat den gleichen Kardinal wie$I$Und$I\setminus(I\setminus F)=F$. Darin liegt die Gleichheit$\infty-\infty=7$hält noch.

Es gibt verschiedene Arten von "Größen", die eine Sammlung von Elementen haben kann. Die drei wichtigsten sind Ordinalität, Kardinalität und Maß. Die Grundlage des Hilbert-Hotels ist, dass verschiedene Ordinalitäten dieselbe Kardinalität haben (zwei Sammlungen können dieselbe Kardinalität, aber unterschiedliche Ordinalität haben, aber wenn sie dieselbe Ordinalität haben, haben sie dieselbe Kardinalität). Ich sagte eher „Sammlung“ als „Set“, weil wir Ordnungszahlen nur haben, wenn es auf die Reihenfolge ankommt. Für eine Menge, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt, haben wir nur die Kardinalität.

Die ursprüngliche Ordnung des Hotels ist$\omega$. Wir können uns vorstellen, die Person in Raum 1 in Raum 2 zu verlegen, die Person in Raum 2 in Raum 3 usw. als auch zu sein$\omega$. Wenn wir danach noch eine weitere Person kommen lassen, dann ist das so$\omega+1$, was eine andere Ordnungszahl ist als$\omega$. Aber da es die gleiche Kardinalität ist, können wir immer noch alle einpassen. Das heißt, "nimm unendlich viele Leute" und "nimm unendlich viele Leute, dann sieben weitere", ergibt die "gleiche" Anzahl von Leuten von einem Kardinalitätspunkt der Ansicht, weil sie nur in einer anderen Reihenfolge sind. Aber es sind unterschiedliche Ordnungszahlen, denn wie die Antwort auf die andere Frage zeigt, bleiben sieben übrig, wenn wir die erste von der zweiten entfernen.

Wenn wir eine unendliche Anzahl von Gruppen haben, hat jede Gruppe eine unendliche Anzahl von Menschen, die eine Kardinalität von hat$\omega*\omega$oder$\omega^2$. Dies hat die gleiche Kardinalität wie$\omega$, also gibt es eine Strategie, um sie ins Hotel zu bekommen. Es gibt auch eine Strategie für$\omega^3$, und eine andere für$\omega^4$, etc. Für eine bestimmte Endlichkeit$n$, gibt es eine Strategie zu bekommen$\omega^n$Leute ins Hotel. Es gibt jedoch keine Strategie, die für alle funktioniert$n$, weil die Menge aller$\omega^n$hat eine Kardinalität größer als$\omega$(das ist,$\omega+\omega^2+\omega^3+...$hat eine größere Kardinalität als$\omega$).

Wir können bekommen$\infty-\infty=7$indem man die erste nimmt$\infty$sein$\omega+7$und der zweite zu sein$\omega$. Wenn wir sie "subtrahieren" (Subtraktion ist nicht wirklich definiert, also spreche ich hier locker), erhalten wir$7$. Wenn$\infty$als eine Kardinalität verstanden wird, dann haben wir, da wir eine Reihe verschiedener Ordinalitäten für eine bestimmte Kardinalität nehmen können, eine große Auswahl, was den "Unterschied" betrifft$\infty-\infty$Ist. Wenn$\infty$als Ordnungszahl verstanden wird, dann ist der Unterschied entweder eine bestimmte Zahl oder inkohärent.

Die Kardinalität von$\mathbb R$größer als die Kardinalität von ist$\mathbb N$, also gibt es keine Möglichkeit, die Elemente von anzuordnen$\mathbb R$so dass wir "subtrahieren" können$\mathbb N$und bekomme$0$.