Welcher Zweig der Mathematik definiert rigoros Infinitesimale?

Deine Wahrnehmung ist falsch. Die Nicht-Standard-Analyse basiert auf Logik und ist so solide wie jedes andere Gebiet der Mathematik. Ich schlage vor, dass Sie Abraham Robinsons Non-Standard Analysis lesen .

Die meisten Einwände gegen die Nichtstandardanalyse scheinen sich auf die Verwendung des Auswahlaxioms bei der Konstruktion des Feldes der Hyperrealen zu beziehen. Nicht-Standard-Analysen sind absolut rigoros, aber wenn Sie ein Hardcore-Konstruktivist sind, dann sind Sie vielleicht etwas zimperlich. Andererseits gibt es immer einige Dinge, an die Sie in jedem Zweig der Mathematik glauben müssen:

• Wenn Sie ein Hardcore-Finitist sind, müssen Sie bei der Analyse im Allgemeinen sehr vorsichtig sein, seit dem Konventionellen$\mathbb{R}$da ein Objekt überhaupt nicht existiert.
• Wenn Sie das Axiom der abhängigen Entscheidungen nicht akzeptieren, sind Sie in Ihrer realen Analyse ziemlich eingeschränkt, da viele Argumente darauf beruhen, eine willkürlich gewählte Sequenz zu nehmen.
• Wenn Sie nicht glauben, dass ein Nicht-Haupt-Ultrafilter eingeschaltet ist$\mathbb{N}$dann können Sie nicht die Ultrakraft konstruieren, die erforderlich ist, um die Hyperreale zu erschaffen.

Wenn Sie sich dafür entscheiden, mehr Axiome zuzulassen ("es gibt eine unendliche Menge", "abhängige Auswahlmöglichkeiten", "es gibt einen nicht-principalen Ultrafilter an$\mathbb{N}$") erhalten Sie Zugriff auf entsprechend interessantere Dinge, die Sie tun können, aber es ist alles immer noch streng.

Beachten Sie jedoch, dass Sie, wenn Sie Choice akzeptieren, in gewissem Sinne „alles, was Sie in der Nicht-Standard-Analyse tun können, auch ohne die Hyperreals tun können“ (siehe https://math.stackexchange.com/a/51480/259262 ). Es ist eine zusätzliche Beweistechnik, um die Dinge einfacher zu machen, indem viele davon ausgeblendet werden$\forall \exists$Quantifizierer, anstatt Ihnen zu erlauben, wirklich neue Dinge zu beweisen, die Sie vorher nicht beweisen konnten.

Amüsanterweise ist eine der Antworten auf die Frage, die Sie stellen, dass die elementare Analysis unendlich kleine Zahlen rigoros definiert.

Wie geht das? Über den Begriff des Differentials. Das Problem, mit dem Sie kämpfen, ist fast rückwärts; Die traditionelle Standardstrecke ist:

• Definieren Sie den Begriff der Ableitung
• Verwenden Sie multivariable Ableitungen, um die Begriffe (Tangenten-)Vektor und Differential zu definieren
• Stellen Sie sich eine Vorstellung von einer „infinitesimalen“ Umgebung eines Punktes vor

Um diesen letzten Punkt näher auszuführen, sollten Sie sich die Punkte der infinitesimalen Nachbarschaft vorstellen, die durch Tangentenvektoren aufgezählt werden sollen – die intuitive Idee ist, dass Sie einen „infinitesimalen“ Schritt proportional zum Tangentenvektor machen. Differentiale sind die Funktionen auf der infinitesimalen Umgebung.

Aber diese Konzeptualisierung versucht nicht, etwas Neues zu definieren – es ist lediglich eine Art, über Kalkül nachzudenken . (wenn auch ein sehr nützliches!)

Aber der zweite Punkt ist Moorstandard. In der Kalkül mit mehreren Variablen ist beispielsweise eine Inkarnation dieser Begriffe

• Tangentenvektoren an Punkte in$\mathbb{R}^n$Sind$n \times 1$Spaltenvektoren – so etwas, das man bekommt, wenn man eine Vektorfunktion einer Variablen differenziert
• Differenzen an Punkten in$\mathbb{R}^n$Sind$1 \times n$Zeilenvektoren – so etwas, das man bekommt, wenn man eine Skalarfunktion von differenziert$n$Variablen

Sowohl die Fächer der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie behandeln solche Dinge viel expliziter und eingehender.

Um die Titelfrage zu beantworten: "Welcher Zweig der Mathematik definiert rigoros Infinitesimale?": Die Antwort ist "ein ernsthafter Grundkurs in Algebra, einschließlich der Existenz eines maximalen Ideals". Tatsächlich ist das alles, was erforderlich ist, um eine hyperreale Erweiterung des realen Feldes zu konstruieren, die die erforderlichen Eigenschaften erfüllt, wie z. B. die Existenz von Infinitesimalen usw.

Wie andere bereits betont haben, ist die Nicht-Standard-Analyse absolut streng, nur etwas komplizierter einzurichten. Ich werde jedoch einige andere, ebenso rigorose Ansätze für Infinitesimale auflisten.

• Doppelnummern : Diese sind sehr einfach einzurichten. Eine duale Zahl ist im Grunde nur ein geordnetes Zahlenpaar. Es basiert auf einem infinitesimalen Namen$\epsilon$, was eine solche Zahl ist$\epsilon^2 = 0$. Ihre Beziehung zur Differenzierung ist$f(a + b\epsilon) = f(a) + bf'(a)\epsilon$. Wenn Sie eine Programmiersprache verwenden, die duale Zahlen implementiert (wie Haskell), können Sie die Ableitung jeder Funktion finden, indem Sie sie lösen, anstatt die Ableitung mit einer Sekantenlinie zu approximieren. Erwarten Sie jedoch nicht, dass Sie mit ihnen in Calculus sehr weit kommen: Sie helfen Ihnen nur bei der Definition von Ableitungen, sie haben kein Übertragungsprinzip und sie sind nicht einmal ein Feld.
• Surreale Zahlen : Dieses lustige kleine Zahlensystem enthält reelle Zahlen, Infinitesimale, Kardinalzahlen, Ordnungszahlen und jedes geordnete Feld. Es erfüllt auch die Feldaxiome selbst. Sie haben jedoch fast keine Anwendungen in Calculus, weil sie sich zu sehr von reellen Zahlen unterscheiden. Sie wurden eigentlich für die Verwendung in der Spieltheorie erfunden, ihr bahnbrechender Text ist On Numbers and Games (was übrigens ein großartiges Buch ist). Sie haben auch eine extrem einfache Definition angesichts ihrer Komplexität, sogar einfacher als die reellen Zahlen. Conway schlägt tatsächlich vor, dass es einfacher wäre, die reellen Zahlen zu konstruieren, indem man zuerst die surrealen Zahlen konstruiert und dann alle nicht-realen surrealen Zahlen entfernt.

Es gibt einen Ansatz mit den Namen synthetische Differentialgeometrie oder glatte Infinitesimalanalyse , der eine Art „reale Linie erweitert mit“ nicht potenten Elementen, in diesem Fall Objekten, betrachtet$d$nicht unbedingt gleich$0$befriedigend

$d^2 = 0$

Beachten Sie, dass dies impliziert, dass Sie nicht länger mit/in einem konventionellen algebraischen Feld arbeiten, und tatsächlich erfordert die axiomatische Entwicklung dieser Theorie, obwohl sie in gewissem Sinne einfacher ist als die gebräuchlicheren Formen der Analyse, besondere Aufmerksamkeit