Was bedeutet infinitesimal?

Die reellen Zahlen$\mathbb{R}$ist ein Beispiel für ein Feld , ein Feld, in dem Sie Elemente addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können. Zusätzlich,$\mathbb{R}$ist ein Beispiel für ein geordnetes Feld , dh für beliebig$a, b \in \mathbb{R}$wir haben beides$a < b$,$a = b$, oder$a > b$. Beachten Sie, dass es einige weitere Bedingungen für die Wechselwirkung zwischen Ungleichheiten und den Feldoperationen gibt.

Ein positives Infinitesimal in einem geordneten Körper ist ein Element$e > 0$so dass$e < \frac{1}{n}$für alle$n \in \mathbb{N}$. Ein negatives Infinitesimal ist$e < 0$so dass$-e$ist ein positives Infinitesimal. Ein Infinitesimal ist entweder ein positives Infinitesimal, ein negatives Infinitesimal oder Null.

In$\mathbb{R}$es gibt nur ein unendlich kleines, null - das ist genau die archimedische Eigenschaft von$\mathbb{R}$. Während die Leute das Wort Infinitesimal verwenden, um Intuition zu vermitteln, haben die reellen Zahlen keine Infinitesimale ungleich Null, daher ist ihre Erklärung fehlerhaft.

In der frühen Entwicklung der Analysis durch Newton und Leibniz wurde das Konzept eines Infinitesimal ausgiebig verwendet, aber nie explizit definiert. Dies wurde im Laufe der Geschichte durch die Einführung von Grenzen korrigiert, die immer noch die Intuition erfassen, aber tatsächlich perfekt definiert sind.

Es sollte beachtet werden, dass andere geordnete Felder Infinitesimale ungleich Null haben. Sie könnten sogar versuchen, ein geordnetes Feld zu finden, das alle reellen Zahlen enthält, die Sie kennen und lieben, aber auch Infinitesimale ungleich Null enthält. So etwas gibt es! Abraham Robinson zeigte als erster, dass ein solches geordnetes Feld existiert$1960$unter Verwendung der Modelltheorie, aber es kann tatsächlich unter Verwendung einer sogenannten Ultrapower-Konstruktion konstruiert werden. Dies wird als Körper der hyperreellen Zahlen bezeichnet und bezeichnet${}^*\mathbb{R}$. Mit den vorliegenden Hyperrealen können Sie alle Ideen, die Newton und Leibniz verwendet haben, fast wörtlich interpretieren. Auf diese Weise durchgeführte Berechnungen werden oft als Nicht-Standard-Analysen bezeichnet .

Im Allgemeinen ist es besser, sich Infinitesimale als eine Intuition oder Motivation vorzustellen, anstatt als etwas, das tatsächlich existiert. In der Standardtheorie der reellen Zahlen gibt es kein Infinitesimal.

In den frühen Tagen der Analysis wurden viele Ideen in Bezug auf eine intuitive Vorstellung von Infinitesimalen definiert, aber im 19. Jahrhundert, als die Mathematik immer mehr darauf bedacht war, sicherzustellen, dass die Grundlagen der Mathematik sinnvoll sind, stießen sie auf Probleme Infinitesimalzahlen und eine Möglichkeit, eine Infinitesimalrechnung durchzuführen, ohne die Infinitesimalzahlen zu benötigen, und verwarf sie daher.

In der Analysis bleibt die "motivierende Idee" von Infinitesimalen in einigen Notationen:

Modernere Mathematik kann eine strenge Grundlage bieten, die Infinitesimale einschließt. Dies ist kein Standard und wahrscheinlich komplizierter als Sie brauchen.

Infinitesimals sind ein natürliches Produkt der menschlichen Vorstellungskraft und werden seit der Antike verwendet, daher würde ich sie nicht als "undenkbar klein" bezeichnen. Man kann sie sich ausdenken und sogar grafisch darstellen, indem man das pädagogische Gerät des Mikroskops verwendet, wie in Keislers klassischem Lehrbuch Elementare Analysis .

Nach meiner Erfahrung im Unterrichten von Infinitesimalzahlen im Klassenzimmer neigen Schüler dazu, Infinitesimalzahlen als gegen Null tendierende Größen oder als „variable Größen“ zu betrachten, wie sie oft von den Pionieren der Analysis wie Leibniz und Cauchy beschrieben wurden. Dies ist eine nützliche Intuition, die gefördert werden sollte, aber letztendlich müssen sie als konstante (oder wie Sie sagen "stationäre") Werte konstruiert werden, wenn sie in einem modernen mathematischen Rahmen formalisiert werden sollen.

Der "unendliche Fehler", auf den Sie sich beziehen, scheint die Art von Technik zu sein, die beispielsweise bei der Berechnung der Ableitung von auftritt$y=x^2$, Wo$\frac{\Delta y}{\Delta x}$wird algebraisch vereinfacht zu$2x+\Delta x$und man ist verwirrt über das Verschwinden des Infinitesimalen$\Delta x$Begriff, der die endgültige Antwort liefert$2x$; dies wird mathematisch durch die Normteilfunktion formalisiert .

Um Ihre Frage zu den Anwendungen von Infinitesimalen zu beantworten: Sie sind zahlreich (siehe Keislers Text), aber was die Pädagogik betrifft, sind sie eine hilfreiche Alternative zu den Komplikationen der Epsilon-Delta-Techniken, die häufig zur Einführung von Kalkülkonzepten wie Kontinuität verwendet werden. Die Epsilon-, Delta-Techniken beinhalten logische Komplikationen im Zusammenhang mit dem Wechsel von Quantoren; Zahlreiche Bildungsstudien legen nahe, dass sie oft ein gewaltiges Hindernis für das Lernen von Kalkül darstellen. Infinitesimale bieten einen alternativen Ansatz, der für die Schüler zugänglicher ist und keine Exkursionen in logische Komplikationen erfordert, die durch den Epsilon-Delta-Ansatz erforderlich sind.

Tatsächlich habe ich gestern in meiner Analysis-Klasse eine schnelle Strohumfrage durchgeführt, indem ich (A) eine Epsilon-, Delta-Definition und (B) eine Infinitesimal-Definition präsentierte; Mindestens zwei Drittel der Schüler fanden die Definition (B) verständlicher.

Um auf den jüngsten Kommentar zu antworten, besteht ein Unterschied zwischen unserem Ansatz und dem von Keisler darin, dass wir mindestens zwei Wochen damit verbringen, den Epsilon-Delta-Ansatz im Detail zu beschreiben (sobald die Schüler bereits die Grundkonzepte über ihre infinitesimalen Definitionen verstanden haben). Somit erhalten die Studierenden einen signifikanten Kontakt zu beiden Ansätzen. Unsere pädagogische Erfahrung und die Reaktionen der Schüler auf unseren Ansatz sind in dieser kürzlich erschienenen Veröffentlichung detailliert beschrieben .

Stellen Sie sich eine Zahl vor, die einen kleineren Absolutwert hat als der Absolutwert jeder reellen Zahl ungleich Null. Es ist eine infinitesimale Zahl. So verstehe ich es.

Ich glaube, dass die moderne Mathematik sich meist von Infinitesimalen fernhält. Wir sprechen lieber von Grenzen und Sätzen wie: „Für alle Zahlen$\epsilon$, wie klein auch immer, die folgende Eigenschaft gilt."

Ich denke, Nicht-Standard-Analyse definiert das Infinitesimal: http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_calculus

Betrachten Sie die Unendlichkeit . Handelt es sich um einen „stationären Wert“? Wo steht es im Zahlenstrahl? Unendlichkeit ist ein Konzept. Es hat einen Wert, der größer ist als jeder Wert, den Sie sich vorstellen können.

Ebenso ist Infinitesimal ein Konzept; sein Wert ist kleiner als jeder Wert, den Sie sich vorstellen können.

Schauen Sie sich dieses Video an und Sie werden verstehen, warum Infinity und Infinitesimal jemandem, der nach „Anwendungen“ / „Methodik“ sucht, nicht „erklärt“ werden kann.