Gibt es eine intuitive Möglichkeit, über die Produktregel für Derivate nachzudenken?

D D X ( F ( X ) G ( X ) ) = F ' ( X ) G ( X ) + F ( X ) G ' ( X )

Gibt es einen Grund, warum das sinnvoll ist? Ich meine wirklich, wenn Sie die Dinge in Bezug auf Steigungen von Tangenten und was nicht aufschlüsseln, passiert hier viel. Steckt dahinter eine geometrische Intuition, für die ich all die Jahre blind war?

Vielen Dank im Voraus

Es gibt ein geometrisches Argument, das die Fläche eines Rechtecks ​​verwendet A ( X ) = u ( X ) v ( X ) . Hier ist ein Beitrag dazu math.stackexchange.com/questions/397554/…
Ich fand das sehr hilfreich, es ist einer meiner Lieblingsteile der Serie
Ich kann keinen guten Link finden, um dies zu veranschaulichen, aber meine Intuition dazu basierte immer darauf, an eine Antriebskette mit zwei elliptischen Kettenrädern zu denken. Die Verstärkung jedes Kettenrads trägt eine Verstärkung bei, die proportional zu seiner Verstärkung an dieser Position und der Position des anderen ist.
@RobArthan Mein schwacher Verstand hat Probleme zu sehen, was Sie erklären
Ich versuche, die Produktregel für Derivate gemäß Ihrer Frage zu erklären. Fahren Sie Fahrrad? Zeichne ein paar Bilder davon, wie es wäre, wenn die Kettenräder elliptisch wären. Denken Sie darüber nach, wie sich Ihre Arbeit an den Pedalen auf die Position des Laufrads auswirken würde.
3Blue1Brown behandelt dies auf YouTube in Kapitel 4 seiner Serie Essence of Calculus .

Antworten (1)

Angenommen, Sie haben ein Rechteck mit Abmessungen F von G Einheiten. Dann die Gegend A = F G . Nun nehme an F wird erhöht um D F Und G wird erhöht um D F . Das neue Rechteck hat Fläche

( F + D F ) ( G + D G ) = F G + F ( D G ) + G ( D F ) + ( D F ) ( D G ) .

So wurde die Fläche um vergrößert

F ( D G ) + G ( D F ) + ( D F ) ( D G ) .

Da wir hier mit den Händen winken, stellen wir fest, dass der letzte Term nicht nur winzig, sondern winzig quadratisch ist, also vernachlässigen wir ihn und stellen fest, dass die Änderung der Fläche sehr nahe bei liegt F ( D G ) + G ( D F ) .

Schön, dass ich mir das für mein Toolkit schnappe, wenn ich das nächste Mal Kalkül unterrichte.
@Alan Eine Grafik des Rechtecks ​​​​ist fast ein Beweis ohne Worte. Auf dieser Seite gibt es eine: web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/products.html
Gibt es eine intuitive Möglichkeit, über die Produktregel für Derivate nachzudenken?
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