Verwandelt die definitionsgemäße Gleichsetzung von „unbestimmtem Integral“ mit „primitiv“ den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung in eine Tautologie?

  • „Unbestimmtes Integral“ wird manchmal mit „primitiv“ gleichgesetzt ( https://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative ).

  • Der fundamentale Satz der Analysis stellt eine Verbindung zwischen Differenzierung und Integration her und sagt informell, dass das eine der umgekehrte Prozess des anderen ist.

  • Grob gesagt sagt die FTC also aus, dass jedes unbestimmte Integral einer Funktion f auch ein Grundelement von f ist.

  • Aber wenn ich zuerst „unbestimmtes Integral von f“ als „Primitive von f“ definiere, erscheint die FTC als Tautologie: „Jedes Primitiv von f ist ein Primitiv von f“.

Meine Frage: (1) sollte man sagen, dass "unbestimmtes Integral" und "primitiv" tatsächlich dieselbe Funktion (oder dieselbe Menge von Funktionen) bezeichnen, sich aber tatsächlich konzeptionell unterscheiden (ich meine, sich in ihren Definitionen unterscheiden); und dass (2) das Interesse von FTC in der Tatsache liegt, dass es trotz ihrer intensionalen / konzeptionellen Unterschiede die erweiterte Identität dieser beiden Ausdrücke zeigt?

Von welchem ​​Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung sprichst du? Bei mir sind es zwei.
Die FTC (Sie sollten sagen, welche Form Sie im Sinn haben) beinhaltet bestimmte Integrale. Was ist Ihre Definition des bestimmten Integrals? Das wird zeigen, ob Ihre Form von FTC eine Tautologie ist. Die Verbindung zwischen Differenzierung und (definitiver) Integration hat wirkliche Tiefe. Wenn Sie also eine Formulierung von FTC wählen, die es zu einer Tautologie macht, dann haben Sie lediglich die Subtilität davon an eine andere Stelle verschoben.

Antworten (1)

Schreiben

∫ A B F ( T ) D T := F ( B ) − F ( A )   ,
Wo F ist ein Primitiv ("Stammfunktion") von F , Und
∫ [ A , B ] F ( T ) D T := lim … ∑ k = 1 N F ( ξ k ) | X k − X k − 1 |   ,
wobei die RHS eine Grenze von Riemann-Summen ist. Das sagt dann die FTC
∫ [ A , B ] F ( T ) D T = ∫ A B F ( T ) D T ( A < B )   .

Verwandelt die definitionsgemäße Gleichsetzung von „unbestimmtem Integral“ mit „primitiv“ den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung in eine Tautologie?
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