Kann Teil 1 des Fundamentalsatzes der Analysis formuliert werden, ohne das Flächenfunktionskonzept zu verwenden?

Da ich neu in der Analysis bin, versuche ich, Teil 1 des Fundamentalsatzes der Analysis zu verstehen.

Normalerweise wird dieser erste Teil unter Verwendung einer „Flächenfunktion“ F ausgedrückt, die jedes x in der Domäne von f auf die Zahl „Integral von a bis x von f(t)dt“ abbildet.

Ich stoße jedoch auf Schwierigkeiten zu verstehen, was der Status dieser Flächenfunktion ist, da sie anscheinend weder ein unbestimmtes Integral noch ein bestimmtes Integral ist (denn ich denke, ein bestimmtes Integral ist eine Zahl, keine Funktion); Wenn diese „Flächenfunktion“ kein „Integral“ (in irgendeiner Art) ist, verstehe ich nicht, auf welche Weise die Behauptung, dass F' = f ist, darauf hinausläuft, zu sagen, „Integration und Differentiation sind inverse Prozesse“, wie es informell gesagt wird.

Daher meine Frage: Gibt es eine leichter verständliche Version von FTC Teil 1, die das Flächenfunktionskonzept nicht verwendet?

Hinweis: Ich glaube, ich verstehe, auf welche Weise die Flächenfunktion eine Funktion ist und was sie "macht". Was ich nicht verstehe, ist die Rolle, die es spielt, um zu beweisen, dass "Integration und Differentiation ein umgekehrter Prozess" sind (da diese Funktion weder ein bestimmtes Integral noch ein unbestimmtes Integral ist, wie MSE-Antworten, die ich zuvor erhalten habe, tendenziell zeigen).

"Gewöhnlich"? Ich glaube nicht, dass ich jemals den Fundamentalsatz in Form einer "Flächenfunktion" gesehen habe. Wer sagt "Flächenfunktion"?
@DavidK. - manche sagen auch "Akkumulationsfunktion" ; die Funktion F, die jedes x in dom(f) auf die Zahl „Integral von a bis x von f(t)dt“ abbildet.
Mein Punkt ist nicht, dass F keine Funktion ist; Mein Punkt ist: "Ist F ein Integral (irgendwie)?" und wenn es passiert, ist es nicht (denn ich habe diese Antwort auf MSE erhalten), warum kann die Tatsache, dass F'=f übersetzt werden kann als "Integration ist der umgekehrte Prozess der Differenzierung"?
Wenn Sie die Funktion angeben müssen X ↦ ∫ A X F ( T ) D T ein Name, dann ist "Akkumulationsfunktion" in Ordnung. Dennoch bin ich es gewohnt, bei der Aufstellung des Fundamentalsatzes die Funktion explizit als bestimmtes Integral ausgeschrieben zu sehen.
Dass F Funktion ist, ist mir klar; auch ist mir klar, dass alle Bilder in dieser Funktion bestimmte Integrale sind.
Entschuldigung, dass ich Sie in einem (inzwischen gelöschten) Kommentar falsch dargestellt habe, ich habe für einen Moment den Überblick verloren.
ich würde sagen F ist eine Funktion, die durch bestimmte Integrale definiert ist. Wir kommen auf die Frage "was ist die Definition eines bestimmten Integrals", aber wenn Sie an einer Definition festhalten wollen, in der Sie zwei bestimmte Integrale haben müssen, wenn Sie zwei verschiedene numerische Werte erhalten (anstelle eines bestimmten Integrals mit einer Variablengrenze). ), können wir definieren F in Bezug auf eine Familie von bestimmten Integralen, in der alles gleich ist, außer der oberen Grenze.
Übrigens liegen Sie nicht falsch, wenn Sie sich Gedanken über die genauen Definitionen dieser Dinge machen. Es ist ein Punkt, der oft beschönigt wird.

Antworten (2)

Ja, ∫ A B F ( T ) D T ist eine Zahl. Aber wenn du dich änderst A oder B (oder beides) erhalten Sie normalerweise eine andere Nummer. So, ( A , B ) ↦ ∫ A B F ( T ) D T ist eine Funktion von A Und B (Und F ). Und insbesondere z A (Und F ) Fest, X ↦ ∫ A X F ( T ) D T ist eine Funktion. Und der Fundamentalsatz der Analysis besagt, dass, wenn F ist dann stetig F ist differenzierbar und F ' = F .

Aus dem gleichen Grund, wenn wir eine Funktion definieren F also von reellen Zahlen zu reellen Zahlen F ( 0 ) ist eine Zahl, und so ist F ( 17 ) , und so ist F ( A ) Wenn A ist eine Zahl. Die Tatsache, dass Sie sich eine Anwendung einer Funktion ansehen und sagen können, dass es sich um eine Zahl handelt, negiert nicht die Tatsache, dass Sie eine Funktion anwenden mussten.

Ich denke, das Hauptproblem hier ist, dass Sie nicht verstehen können, wie Integration und Differenzierung umgekehrte Prozesse sind.

Um es vollständig zu verstehen und zu schätzen, müssen Sie die Definition der Ableitung (einfach) und die des Integrals (schwierig und in den Texten für Anfänger meist vermieden) kennen.

So wie die Ableitung als Grenzwert definiert ist, ist das Integral ∫ A B F ( X ) D X wird auch als komplizierter Grenzwert basierend auf definiert A , B , F . Hier sind einige technische Details erforderlich, und Sie können sich diese Antwort für weitere Details ansehen .

Die Verbindung zwischen Ableitungen und Integralen wird dann durch Analyse des Integrals verstanden ∫ A X F ( T ) D T . Die Idee ist zu verstehen, wie sich das Integral ändert, wenn das Integrationsintervall variiert. Und da haben Sie den Fundamentalsatz der Analysis Teil 1, der das sagt

FTC Teil 1 : Let F : [ A , B ] → R Riemann integrierbar sein [ A , B ] . Dann die Funktion F : [ A , B ] → R definiert von

F ( X ) = ∫ A X F ( T ) D T
ist durchgehend an [ A , B ] . Und weiter wenn F ist irgendwann durchgehend C ∈ [ A , B ] Dann F ist differenzierbar bei C mit F ' ( C ) = F ( C ) .

Einfacher ausgedrückt, wenn die Funktion F Die Integration ist dann über das gesamte Integrationsintervall kontinuierlich F ' ( X ) = F ( X ) im gesamten Intervall. Somit sind wir in der Lage, die Rate herauszufinden, mit der das Integral variiert, wenn das Integrationsintervall variiert.

Und das gibt uns eine Möglichkeit, Integrale auszuwerten, ohne die komplizierte Definition von Integral zu verwenden. Vielmehr hofft man, eine Stammfunktion zu finden und ihre Werte einfach an den Endpunkten des Intervalls zu subtrahieren. Formaler haben wir

FTC Teil 2 : Let F : [ A , B ] → R Riemann integrierbar sein [ A , B ] und weiter nehmen wir das an F besitzt eine Stammfunktion F An [ A , B ] dh es existiert eine Funktion F : [ A , B ] → R so dass F ' ( X ) = F ( X ) für alle X ∈ [ A , B ] . Dann

∫ A B F ( X ) D X = F ( B ) − F ( A )

Kann Teil 1 des Fundamentalsatzes der Analysis formuliert werden, ohne das Flächenfunktionskonzept zu verwenden?
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