Notwendigkeit einer Hypothese im Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung

Baby Rudins fundamentaler Satz der Infinitesimalrechnung (Satz 6.21) besagt in den Worten meines Professors:

Lassen F : [ A , B ] → R eine Riemann-integrierbare Funktion sein. Wenn F : [ A , B ] → R ist eine Stammfunktion von F , Dann ∫ A B F ( X ) D X = F ( B ) − F ( A ) .

Während des Beweises fragte einer meiner Kollegen, ob die Hypothese, dass F ist Riemann integrierbar wurde benötigt, da wir direkt danach die Ableitung von haben F ist wenig F . Das heißt, impliziert die zweite Hypothese die erste? F ist differenzierbar, also stetig an [ A , B ] , und außerdem beschränkt. Bedeutet dies dann das F ist auch stetig und beschränkt? Wenn ja, heißt das, wir können die erste Hypothese ausschließen, oder ist sie notwendig?

Nun, Sie müssen wissen, dass das Integral existiert.
WAHR. Also können wir nicht einfach sagen " F , auf einem kompakten Intervall, hat eine Ableitung namens F , und damit das Integral von A Zu B existiert" richtig?
Sie können sehen, dass die Differenzierung etwas stärker ist, wenn Sie beachten, dass die Grenze der Differenzierung an jedem Punkt genommen wird, während die Grenze der Riemann-Summen für den gesamten Bereich genommen wird. Wenn zB eine Funktion an einer Flanke mit einer gegen unendlich gehenden Frequenz schwingt, kann die Riemann-Summe nicht in die Zwischenräume zwischen den Schwingungen passen. Wenn Sie eine perfekte Reversibilität wünschen, benötigen Sie ein Integral, das diese Diskrepanz behebt. Das Eichintegral tut genau das auf Kosten eines etwas komplizierteren Begrenzungsverfahrens.

Antworten (1)

Die Ableitung einer beschränkt differenzierbaren Funktion ist nicht unbedingt beschränkt oder stetig. Ein Standardbeispiel ist zu lassen 1 < a < 2 und definieren F ( X ) = X a Sünde ⁡ 1 X Wenn X ≠ 0 , Und F ( 0 ) = 0 . In diesem Fall F ' ( 0 ) = 0 Aber F ' ist in jeder Umgebung von unbegrenzt 0 .

Dies liefert jedoch kein Gegenbeispiel zum Fundamentalsatz. Ein Beispiel für eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung nicht Riemann-integrierbar ist, ist die Volterra-Funktion .

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