Gegenbeispiel zu "differenzierbar impliziert stetig"?

Wie andere hier erwähnt haben, berechnen Sie die Grenzen von Ableitungen von links$0$, und Grenzen von Derivaten aus dem Recht von$0$. Dies ist ein anderes Konzept als die linke Ableitung von$f$bei$0$und die Rechtsableitung von$f$bei$0$.

Daher widerspricht Ihre Funktion nicht der Aussage, dass Differenzierbarkeit an einem Punkt Stetigkeit an diesem Punkt impliziert (und natürlich gibt es solche Funktionen nicht, weil "differenzierbar$\implies$kontinuierlich" ist eine wahre Aussage).

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Als spaßbezogenen Satz haben wir folgendes (der Beweis verwendet den Mittelwertsatz):

Vermuten$f:I\to\Bbb{R}$ist eine Funktion, die in einem (z. B. offenen) Intervall definiert ist$I$, Und$a\in I$ein Punkt wie:

• $f$ist stetig bei$a$
• $f$ist an allen Punkten differenzierbar$I$, außer vielleicht bei$a$
• $\lim\limits_{x\to a}f'(x)$existiert

Dann,$f$ist an der Stelle differenzierbar$a$, Und$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}f'(x)$.

Die Funktion$f$Sie haben den zweiten und dritten Aufzählungspunkt erfüllt, aber nicht den ersten, was nur zeigt, wie wichtig Kontinuität an dem fraglichen Punkt ist.

Betrachten Sie als Beispiel für die Nützlichkeit dieses Theorems die Funktion$f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$definiert als

$$\begin{align} f(x)&:= \begin{cases} x^2&\text{if $x\geq 0$}\\ 0& \text{if $x<0$} \end{cases} \end{align}$$ Dann,$f$im Ursprung stetig ist,$f$ist vom Ursprung weg differenzierbar, und wir haben $$\begin{align} f'(x)&= \begin{cases} 2x&\text{if $x>0$}\\ 0&\text{if $x<0$} \end{cases} \end{align}$$ So,$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}2x=0$Und$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}0=0$, So$\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$existiert und ist gleich$0$. Also sind alle drei Hypothesen des Theorems erfüllt und wir können das jetzt schließen$f$am Ursprung differenzierbar ist, und$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0$.

Natürlich können Sie in diesem speziellen Fall auch direkt nachprüfen, ob z$h\neq 0$, wir haben$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\to 0$als$h\to 0$, so dass wir direkt aus der Definition haben$f$am Ursprung differenzierbar mit$f'(0)=0$.