Wie behandelt man Differentiale und Infinitesimale?

Es gibt eine alte Tradition, die bis zu Leibniz selbst zurückreicht und in Physikfakultäten viel weitergeführt wird, Differentiale intuitiv als " Infinitesimalzahlen " zu betrachten. Im Laufe der Geschichte haben große Geister Leibniz dafür als informell und unwissenschaftlich kritisiert (zum Beispiel der ansonsten großartige Bertrand Russell in Kapitel XXXI von "A History of Western Philosophy" (1945)).

Aber dann geschah etwas Tiefgreifendes: William Lawvere , einer der tiefgründigsten Denker der Grundlagen der Mathematik und der Physik, lehrte die Welt die Topos-Theorie und darin die „ synthetische Differentialgeometrie “. Unter anderem ist dies ein völlig strenger mathematischer Kontext, in dem die alte Intuition von Leibniz und die Intuition vieler naiver Physiker eine volle formale Berechtigung findet. In der Synthetischen Differentialgeometrie existieren diese Differentiale explizit ("synthetisch") als infinitesimale Elemente der reellen Linie.

Eine grundlegende Darstellung, wie dies funktioniert, finden Sie im nLab unter

• Differenzierung - Darstellung der Differenzierung durch Infinitesimale

Beachten Sie, dass dies nicht nur eine große Maschine ist, um etwas zu produzieren, das Sie bereits kennen, wie einige unweigerlich denken werden. Im Gegenteil, dies führt zu den anspruchsvolleren Orten der modernen Physik. Die „abgeleitete“ oder „ höhere geometrische “ Version der synthetischen Differentialgeometrie umfasst nämlich die moderne D-Geometrie , die beispielsweise im Zentrum moderner Themen wie dem BV-BRST-Formalismus (siehe z . B. Paugams Übersicht ) zur Quantisierung von Eichtheorien steht, oder zum Beispiel geometrische Langlands-Korrespondenz , daher S-Dualität in der Stringtheorie .

(Ich spreche dies aus Sicht der Standardanalyse an.)

Ich glaube nicht, dass Sie dies zufriedenstellend verstehen werden, bis Sie sich mit der Kalkül mit mehreren Variablen befassen, denn in Kalkül 2 ist es leicht, dies zu denken$\frac{d}{dx}$ist alles, was Sie brauchen und was nicht nötig ist$\frac{\partial}{\partial x}$(Das ist falsch und hat damit zu tun, warum sich Ableitungen im Allgemeinen nicht immer wie Brüche verhalten). Das ist also ein Grund, warum Differentiale nicht wie Zahlen sind. Es gibt jedoch einige Arten, in denen Differentiale wie Zahlen sind .

Ich denke, der grundlegendste Teil ist, wenn Ihnen das gesagt wird$f dx=dy$, das bedeutet, dass$y$kann angenähert werden als$y(x)=y(x_0)+f\cdot(x-x_0)+O((x-x_0)^2)$nah dran$x_0$(Dies wirft ein weiteres Problem auf*). Da dieser Term erster Ordnung wirklich alles ist, was zählt, nachdem man die einschränkenden Verfahren der Analysis angewendet hat, liefert dies ein Argument dafür, warum eine solche unangemessene Behandlung von Differentialen zulässig ist - Terme höherer Ordnung spielen keine Rolle. Dies ist eine Konsequenz aus dem Satz von Taylor und ermöglicht es Ihrem Physiklehrer, Differentiale als sehr kleine Zahlen zu behandeln, weil$x-x_0$ist wie dein "dx" und es IST eine reelle Zahl. Was Ihnen ermöglicht, Dinge zu tun, die Sie mit einer einzigen reellen Zahl nicht tun können, ist diese Formel für$y(x)$gilt für alle $x$, nicht nur irgendein x. Damit können Sie alle komplizierten Tricks der Analyse anwenden .

Wenn ich mich besonders über die unsachgemäße Behandlung von Differentialen ärgere und ich sehe, wie jemand ein Beispiel durcharbeitet, wo er schreibt: "Jetzt nehmen wir das Differential von$x^2+x$geben uns$(2x+1)dx$“, kann ich mir vorstellen$dx$eine normale reelle Zahl ist, und dass es ein wenig gibt$+O(dx^2)$zur Seite geheftet.

Ihr Mathematiklehrer könnte argumentieren: „Sie wissen nicht genug über diese Theoreme, um sie richtig anzuwenden, deshalb können Sie sich Differentiale nicht so ähnlich wie Zahlen vorstellen“, während Ihr Physiklehrer argumentieren könnte: „Die Intuition ist das Wirkliche wichtiger Teil, und Sie müssten komplizierte Mathematik lernen, um es so zu sehen$O(dx^2)$. Konzentriere dich besser auf die Intuition."

Ich hoffe, ich habe die Dinge geklärt, anstatt sie komplizierter erscheinen zu lassen.

*(Die O-Notation ist ein weiterer Wurm und kann auch falsch verwendet werden. Mit der verlinkten Notation sage ich "$y(x)-y(x_0)-f\cdot(x-x_0)=O((x-x_0)^2)$wie$x\to x_0$". Beachten Sie, dass dies als Widerspruch zu meinem Argument angesehen werden könnte - Es ist sinnlos zu sagen "ein Wert von$x$erfüllt diese Gleichung", also ist es, wenn es in dieser Form geschrieben wird (was Ihr Physikprofi vielleicht stumpfer und Ihr Mathematikprofi vielleicht sinnvoller findet), weniger eine Gleichung als vielmehr eine logische Aussage.)

Siehe auch: https://mathoverflow.net/questions/25054/different-ways-of-thinking-about-the-derivative

Ich denke dein Mathelehrer hat recht. Eine Möglichkeit zu sehen, dass Differentiale keine normalen Zahlen sind, besteht darin, ihre Beziehung zu sogenannten 1-Formen zu betrachten. Ich weiß nicht, ob Sie bereits Formulare in Calculus 2 hatten, aber es ist einfach, im Internet nachzuschlagen.

Da Sie in Ihrer Frage ein Tag "Integrale" gewählt haben, möchte ich Ihnen ein Beispiel geben, das auf einem Integral basiert. Nehmen wir an, Sie haben eine Funktion$f(x^2+y^2)$und flächendeckend integrieren wollen$A$:

$$\int_A f(x^2+y^2) \, dx \, dy$$

Das Wichtige, was hier zu erkennen ist, ist, dass die$dx\,dy$ist eigentlich nur eine Abkürzung für$dx\wedge dy$. Dies$\wedge$thingy ist eine Operation (Keilprodukt - ähnlich wie Multiplikation, aber mit etwas anderen Regeln), die Formen kombinieren kann (in diesem Fall kombiniert es zwei$1$-Formen zu a$2$-bilden). Eine wichtige Regel für Keilprodukte ist die Antikommutierung:

$$dx\wedge dy=-dy\wedge dx$$

Das stellt sicher$dx\wedge dx=0$(wo ein Physiker schummeln könnte, indem er sagt, dass er alles Ordnungswidrige vernachlässigt$O(dx^2)$, aber das ist wie das Mischen von Birnen und Äpfeln, ehrlich gesagt irreführend). Warum sollten sich Differentiale in Integralen so verhalten und wo ist die physikalische Bedeutung? Nun, hier können Sie über die „Händigkeit“ eines Koordinatensystems nachdenken. Zum Beispiel die Integrationsmaßnahme$dx\wedge dy\wedge dz$ist kartesisch „rechtshändig“. Sie können es "linkshändig" machen, indem Sie das pendeln$dx$mit$dy$erhalten$-dy\wedge dx\wedge dz$, aber dann steht das Minuszeichen davor, was dafür sorgt, dass Ihre Integration in einem 'linkshändigen' Koordinatensystem immer noch das gleiche Ergebnis liefert wie das ursprüngliche 'rechtshändige'.

Um auf das obige Integralbeispiel zurückzukommen, nehmen wir auf jeden Fall an, Sie mögen Polarkoordinaten besser, um Ihre Integration durchzuführen. Sie führen also die folgende Substitution durch (vorausgesetzt, Sie wissen bereits, wie man totale Differentiale bildet):

$$x = r \cos \phi~~~,~~~dx = dr \cos \phi - d\phi\, r \sin \phi$$ $$y = r \sin \phi~~~,~~~dy = dr \sin \phi + d\phi\, r \cos \phi$$

Multiplizieren Sie Ihre$dx\wedge dy$finden Sie, was Sie wahrscheinlich schon kennen und erwarten:

$$dx\wedge dy = (dr \cos \phi - d\phi\, r \sin \phi)\wedge(dr \sin \phi + d\phi\, r \cos \phi)$$ $$= \underbrace{dr\wedge dr}_{=0} \sin \phi\cos \phi + dr\wedge d\phi\, r \cos^2 \phi - d\phi\wedge dr\, r \sin^2 \phi - \underbrace{d\phi\wedge d\phi}_{=0}\, r^2 \cos \phi \sin \phi$$ $$=r(dr\wedge d\phi \cos^2 \phi - d\phi\wedge dr \sin^2 \phi)$$ $$=r(dr\wedge d\phi \cos^2 \phi + dr\wedge d\phi \sin^2 \phi)$$ $$=r\, dr\wedge d\phi ( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi)$$ $$=r\, dr\wedge d\phi$$

Damit lautet das oben in Polarkoordinaten ausgedrückte Integral korrekt:

$$\int_A f(r^2)r\, dr \, d\phi$$

Wobei wir hier das Keilprodukt unterdrückt haben. Es ist wichtig zu erkennen, dass wenn wir die Differentiale hier nicht als 1-Formen behandelt hätten, die Transformation des Integrationsmaßes$dx \, dy$in die mit einbeziehen$dr$und$d\phi$hätte nicht richtig geklappt!

Ich hoffe, dieses Beispiel war bodenständig genug und vermittelt ein Gefühl dafür, dass Differentiale nicht ganz sehr kleine Zahlen sind.

In der Mathematik die Notation$\def\d{\mathrm d}\d x$ist eigentlich eine lineare Form , das heißt$\d x$ist eine lineare Funktion, die einen Vektor a nimmt und einen Skalar ergibt.

Nehmen wir eine differenzierbare Funktion$f$definiert über$\def\R{\mathbf R}\R$und bedenke es auf den Punkt$a$. Die Tangente an die Kurve von$f$am Punkt$a$hat eine Steigung$f'(a)$. Der Punkt auf dieser Tangente der Abszisse$b$hat Ordinate$f_a(b)=f(a)+(b-a)f'(a)$.$f_a(b)$ist die lineare Näherung von$f(b)$wissen$f$am Punkt$a$.

Wir definieren dann$\d x(b-a)=b-a$. Wir haben

$$f_a(b)-f(a)=f'(a)\d x(b-a),\tag{1}$$ und wir schreiben $$\d f_a=f'(a)\d x$$ Das ist die Formel (1), die für lineare Formen geschrieben wurde . In der Tat die lineare Form$\d f_a$ist definiert durch $$\d f_a(\epsilon)=f'(a)\d x(\epsilon)=f'(a)\epsilon.$$

In der Physik macht man oft die Verwechslung zwischen$\d x$(die lineare Form) und$\epsilon$(Das Argument von$\d x$). Ich hoffe, Sie verstehen warum, wenn Sie sich die letzte Gleichung ansehen.

HINWEIS . Dies mag ziemlich nutzlos erscheinen, aber in der Dimension$n>1$das wird interessanter. Sie haben in der Tat

$$\def\vec#1{\boldsymbol{#1}} \def\der#1#2{\frac{\partial #2}{\partial #1}} \d f_{\vec a}=\nabla f(\vec a)\cdot\d\vec r=\begin{pmatrix}\der {x_1}{f(\vec a)}\\\vdots\\\der {x_n}{f(\vec a)}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\d x_1\\\vdots\\\d x_n\end{pmatrix}$$ das heißt übersetzt z$\vec\epsilon=(\epsilon_1,\dots,\,\epsilon_k)\in\R^n$, $$\d f_{\vec a}(\vec\epsilon)=\sum_{k=1}^n \der{x_k}{f(\vec a)}\d x_k(\vec\epsilon)=\sum_{k=1}^n\der{x_k}{f(\vec a)}\epsilon_k,$$ Weil$\d x_k(\vec\epsilon)=\epsilon_k$($\d x_k$ist der$k^{\rm th}$Koordinatenformular).

Es gibt eine alte Tradition, die bis zu Leibniz selbst zurückreicht, Differentiale intuitiv als "unendlich kleine Zahlen" zu betrachten. Im Laufe der Geschichte haben große Geister Leibniz dafür kritisiert. Daher akzeptierte Russell Cantors Behauptung, dass Infinitesimale inkonsistent sind, und reproduzierte sie sogar in seinem Buch Principles of Mathematics im Jahr 1903.

Aber dann geschah 1961 etwas Tiefgreifendes: Abraham Robinson, einer der profundesten Denker der Grundlagen der Mathematik, lehrte die Welt eine rigorose Konstruktion von Infinitesimalzahlen im traditionellen Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie, ausgedrückt in Begriffen der Theorie von Typen. Unter anderem ist dies ein völlig strenger mathematischer Kontext, in dem die alte Intuition von Leibniz und die Intuition vieler naiver Physiker eine volle formale Berechtigung findet. In Robinsons Rahmen existieren diese Differentiale explizit als infinitesimale Elemente eines geeigneten reellen abgeschlossenen Feldes.

Eine detaillierte Darstellung, wie dies funktioniert, befindet sich in Robinsons Buch von 1966, aber seitdem wurden einfachere Behandlungen entwickelt, wie die Bücher von Martin Davis oder Robert Goldblatt, einschließlich der Darstellung der Differenzierung über Infinitesimale.

Beachten Sie, dass dies nicht nur eine große Maschine ist, um etwas zu produzieren, das Sie bereits kennen, wie einige unweigerlich denken werden. Im Gegenteil, dies führt zu den anspruchsvolleren Orten der modernen Physik, wie sie im Buch von Albeverio et al. ausführlich entwickelt wurden:

Albeverio, Sergio; Hoegh-Krohn, Raphael; Fenstad, Jens-Erik; Lindström, Tom. Nichtstandardmethoden in der stochastischen Analysis und der mathematischen Physik . Pure and Applied Mathematics, 122. Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1986. xii+514 S.

Anmerkung 1. Lawveres Beitrag im Rahmen der Kategorientheorie stammt aus den 1970er Jahren.

Anmerkung 2. (Als Antwort auf die Frage des Benutzers Ovi) Robinsons Rahmenwerk ist Teil der traditionellen Analyse in dem Sinne, dass es die traditionellen Zermelo-Fraenkel-Grundlagen und die klassische Logik verwendet (im Gegensatz zu Lawveres Ansatz, der sich in einem Bruch mit der klassischen Mathematik auf intuitionistische Logik stützt ). Robinsons Framework ist heute ein aktives Forschungsgebiet mit einer eigenen Zeitschrift: Journal of Logic and Analysis (siehe http://logicandanalysis.org/ ) und einer ständig wachsenden Zahl von Monographien; zuletzt von Loeb und Wolff (siehe http://www.springer.com/us/book/9789401773263 ).

Wie Sie an der Vielfalt der Antworten sehen, gibt es viele Möglichkeiten, Differentiale mathematisch exakt zu interpretieren.

Eine schöne einfache Interpretation ist als Koordinaten von Tangentialvektoren.

Betrachten Sie eine Gleichung

$$z = f(x,y)$$ Beschreibung einer gekrümmten Fläche im dreidimensionalen Raum ( $z$ist die Höhe).

Dann die Gleichung

$$dz = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \cdot dx + \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) \cdot dy$$ beschreibt die Punkte $(\bar x,\bar y,\bar z)=(x+dx,y+dy,z+dz)$der Tangentialebene am Punkt $(x,y,z)$an der Oberfläche. Diese Gleichung wird oft Tangentengleichung genannt .

Wenn Sie einen bestimmten Punkt haben$(x,y,z)$gegeben durch Koordinatenwerte als Zahlen und möchte auch einen bestimmten Punkt auf der Tangentialebene haben, für den einfach Zahlen eingegeben werden sollen$dx$,$dy$und$dz$. Somit können die Differenzen für Zahlen stehen. Warum nicht.

So weit, ist es gut. Nun, warum sollten die Zahlen klein sein? Wir gehen davon aus, dass die Oberfläche an der Stelle glatt ist$(x,y,z)$, bedeutet, dass$f$soll dort stetig differenzierbar sein. Dann

$$\frac{z+dz - f(x+dx,y+dy)}{|(dx,dy)|}\rightarrow 0 \quad\text{ for } |(dx,dy)|\rightarrow 0$$ wo $dz$erfüllt die obige Tangentengleichung. Hier $|(dx,dy)|=\sqrt{dx^2 + dy^2}$bezeichnet die euklidische Norm.

Die Teilung durch$|(dx,dy)|$lässt uns ein skaliertes Bild der Oberfläche um den Punkt herum betrachten$(x,y,z)$. Um die Winkel beizubehalten, skalieren wir das Bild gleichmäßig in alle Richtungen. Das Bild wird immer so skaliert, dass die Störung$(dx,dy)$von diesem Punkt$(x,y,z)$liegt in der Größenordnung von 1. Auch in diesem hochskalierten Bild die Höhe$z+dz$des gestörten Punktes$(x+dx,y+dy,z+dz)$auf der Tangentialebene passt die entsprechende Höhe immer besser$f(x+dx,y+dy)$auf der gekrümmten Fläche.

$\sum$: Die Tangentialebene mit den lokalen Koordinaten$dx$,$dy$und$dz$Je besser die gekrümmte Oberfläche passt, desto geringer sind die Störungen$dx,dy,dz$sind.

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Um die Dinge zu verdeutlichen, betrachten wir ein Beispiel. Lassen Sie die gekrümmte Oberfläche sein

$$z=x^2-y.$$ Wir holen den konkreten Punkt mit $x=1$und $y=2$nachgeben $z=1^2-2 = -1$. Die Tangentengleichung ist $$dz = 2x\cdot dx - dy,$$ und an unserem speziellen Punkt $$dz = 2 dx - dy.$$ Um einen bestimmten Punkt auf der Tangentialebene zu haben, betrachten wir die Differentiale $dx=\frac14$und $dy=1$nachgeben $$dz = 2\cdot\frac14 - 1 = -\frac12.$$

Die Position dieses Punktes auf der Tangentialebene im 3D-Raum ist$(x+dx,y+dy,z+dy)=\left(1+\frac14,2+1,-1-\frac12\right)=\left(\frac54,3,-\frac32\right)$.

Gleichzeitig$x$- und$y$-Koordinaten erhalten wir auf der gekrümmten Fläche die Höhe$z'$mit

$$z' = f(x+dx,y+dy) = f\left(\frac54,3\right) = \left(\frac54\right)^2 - 3 = -\frac{23}{16} = -1.4375.$$ Es ist ein bisschen von der Höhe entfernt $z+dz=-1.5$des entsprechenden Punktes auf der Tangentialebene.

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Auch wenn ich hier ein numerisches Beispiel vorgestellt habe, werden in der Praxis die Differentiale häufiger als Variablen verwendet, um Beziehungen zwischen den Differentialen (mit ihrer Interpretation als Tangentenkoordinaten) zu bestimmen.

Im Zusammenhang mit Tangens koordiniert der Differentialquotient$\frac{dy}{dx}=f'(x)$ist das Verhältnis der Koordinaten$dx$und$dy$der Tangente am Graphen von$f$bei$x$.

Solange Sie die Division durch Null vermeiden, können Sie durch ein Differential dividieren$dx$(als Tangentenkoordinate).

Mit dem Ziel, die Komplexität auf einem Minimum zu halten, besteht die beste "vereinheitlichende" Lösung darin, Differentiale, Infinitesimale, Zahlen usw. als mathematische Symbole zu betrachten, auf die bestimmte Merkmale, Eigenschaften und mathematische Operationen (Regeln) anwendbar sind.

Da nicht alle Regeln auf alle Symbole anwendbar sind, müssen Sie lernen, welche Regeln auf einen bestimmten Satz von Symbolen anwendbar sind.

Egal, ob Sie Brüche, Dezimalzahlen, Differentiale usw. lernen, lernen Sie einfach die Symbole und ihre besonderen Regeln und Operationen, und das wird für 99 % der Zeit ausreichen.

Die strenge mathematische Bedeutung von Infinitesimalen wird in der Analyse mit dem gegeben$\epsilon$-$\delta$Definition einer Grenze. Was die Physik betrifft$\epsilon$bezieht sich im Allgemeinen auf experimentelle Genauigkeit oder Fehlerspanne. Das bedeutet es$\delta$eine Zahl ist, die klein genug ist, dann macht eine Verkleinerung keinen praktischen Unterschied zu den Vorhersagen.

Das Formale$\epsilon$-$\delta$Die Definition einer Grenze bedeutet streng genommen nicht den Endpunkt eines unendlichen Prozesses, sondern bedeutet einfach, dass es empirisch bedeutungslos ist, den Prozess weiter fortzusetzen.

Den Grund werden Mathematiker nicht verwenden$dx$als Zahl ist das$dx$wird nur als Teil eines Ausdrucks definiert, nicht als etwas an sich. In der Physik$dx$kann gemeint sein$\delta x$, eine Zahl, die ausreichend klein ist, dass die experimentelle Genauigkeit nicht beeinträchtigt wird.

Ich stimme den bereits geposteten Antworten zu, aber ich habe das Gefühl, dass ihnen ein wichtiger Aspekt fehlt: Differentiale sind mathematische Objekte , und für einen Physiker sind sie ein theoretisches Werkzeug (ein sehr wichtiges!), Aber immer noch ein Werkzeug und wie alles, was es nicht gibt Ein experimentelles Ergebnis (oder ein Versuch einer grundlegenden Theorie) darf nicht so verwendet werden, dass es nützlich ist, und nicht so, wie es "sein sollte".

Nimm einen Schraubenschlüssel. Wenn Sie einen Designer fragen, ob der Schraubenschlüssel ein Hammer ist, erhalten Sie höchstwahrscheinlich zu Recht ein Nein, denn das ist er nicht. Aber wenn Sie einen Nagel festnageln müssen und feststellen, dass Schraubenschlüssel gut funktionieren und aus irgendeinem Grund leichter erreichbar sind, dann verwenden Sie Schraubenschlüssel!

Differentiale werden in der Physik oft als etwas verwendet, was sie nicht sollen: In der Kettenregel können Sie sie als Bruch behandeln, in der Jacobi-Regel können Sie sie als winzige Längenelemente in Richtung der verschiedenen Koordinaten behandeln. Bedeutet dies, dass es sich um Bruchteile oder winzige Längen handelt? Absolut nicht! Aber wenn es funktioniert (das heißt, Sie erhalten ein Ergebnis, das experimentell korrekt ist), gibt es keinen Grund, warum Sie es nicht verwenden sollten. Es gibt Zeiten, in denen es nicht gehtArbeit: In diesen Fällen haben Sie Newtons Flaming Laser Sword nicht an Ihrer Seite und müssen die Dinge ausrechnen. Wenn Sie nicht wissen, was Differentiale wirklich sind, bleibt Ihr Wissen natürlich unvollständig, aber Ihre Berechnungen werden in den oben genannten Fällen immer noch richtig sein. Wie mein Lehrer für Analysis immer sagte: "Ingenieure verwenden Differentiale immer als Brüche, Mathematiker immer als Differentialformen, Physiker lernen, dass es sich um Differentialformen handelt, und verwenden sie dann als Brüche."