Unendlich kleines Volumen mit Differentialen

Ich verstehe nicht, warum sie in einigen Texten diese unendlich kleine Menge angeben D v = D X D j D z . Wenn v = v ( X , j , z ) infinitesimales Volumen sein sollte

D v = ∂ v ∂ X D X + ∂ v ∂ j D j + ∂ v ∂ z D z

Wäre Mathematik ein besseres Zuhause für diese Frage?
Mag sein, aber ich habe es hier gepostet, weil moderne Mathematiker das Konzept der Infinitesimalrechnung fast ausradiert haben, obwohl es in Wissenschaften wie der Physik immer noch weit verbreitet ist. (Siehe math.oregonstate.edu/bridge/papers/differentials.pdf ) Also dachte ich, Physiker könnten mir das besser erklären.
Tatsächlich ist bewiesen, dass Infinitesimale doch zu keinen Problemen führen. Für eine Diskussion auf elementarer Ebene siehe math.wisc.edu/~keisler/calc.html .
Wenn v ist eine Funktion, Schreiben D v für das Volumenelement ist einfach eine schlechte Sache. Ich würde schreiben D 3 X oder ω v , je nachdem, wer es lesen wird.

Antworten (2)

Das Volumen einer endlichen Box ist Δ X Δ j Δ z . Die Infinitesimalen werden einfach als sehr kleine Deltas betrachtet – so klein, dass sie kleiner als jede reelle Zahl sind. (Dies kann in Bezug auf die Nicht-Standard-Analyse formalisiert werden .)

Was Sie möglicherweise in die Irre geführt hat, war die Notation D v . Das bedeutet einfach ein verschwindend kleines Volumen. Das bedeutet es nicht v ist eine Funktion, die differenziert wird.

Hier gibt es zwei unabhängige Konzepte.

  1. Das eine ist das eines infinitesimalen Volumens , das auch als differentielles Volumenelement bezeichnet wird .
    D v = D X D j D z
    Dies stellt ein kleines Volumen dar, das Sie zum Beispiel zur Ableitung von Erhaltungsgleichungen verwenden würden. Siehe auch infinitesimal für eine allgemeinere Definition.

2. Das zweite ist ein Konzept eines Differentials ,

D v = ∂ v ∂ X D X + ∂ v ∂ j D j + ∂ v ∂ z D z

Dieses Differential repräsentiert eine Änderung in der Linearisierung einer Funktion.

Unendlich kleines Volumen mit Differentialen
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