Was bedeutet die Ableitung der Fläche nach der Länge?

Versuchen Sie, ein Quadrat zu zeichnen$ABCD$mit Seite gleich$L$. Zeichnen Sie nun ein etwas größeres Quadrat$AB'C'D'$mit Seitenlänge$L+\Delta L$(so dass$DD'=BB'=\Delta L$). Betrachten Sie nun die$\Gamma$-ähnliche Form geschnitten aus$AB'C'D'$von$ABCD$, können Sie es in drei Teile teilen: zwei dünne Rechtecke$L\times \Delta L$und ein kleines Quadrat$\Delta L\times \Delta L$.

Nun ist die Ableitung ganz vereinfacht "die Wertdifferenz der Funktion über der Argumentänderung", also im Grunde, wenn man die Seitenlänge um erhöht$\Delta L$, dann vergrößert sich die Oberfläche um$2L\Delta L$und ein vernachlässigbarer Term$(\Delta L)^2$.

Das kann man auch sagen$2L$bezeichnet den Umfang des Teils des Quadrats, der aufgeblasen wurde.

Betrachten Sie dieses Bild:

Hier ist das grüne Quadrat das Flächenquadrat$A=L^2$und rote Linie ist seine Zunahme.

Wenn Sie die Länge erhöhen$L$von$dL$, das Gebiet$A$wird um erhöht$2LdL$. Also, um Ihre Frage zu beantworten, Bedeutung von$2L$ist, dass es die Länge der roten Linie auf dem Bild ist ($dL$ist seine Breite).

Sich die Ableitung grafisch als Steigung der Tangente vorzustellen, ist nur eine Möglichkeit, die Bedeutung der Ableitung zu verstehen. Es ist das gebräuchlichste, weil es die Motivation für die Ableitung in den meisten Einführungskursen in Analysis ist. Aber die Bedeutung und der Wert der Idee eines Derivats liegen viel tiefer. Die Ableitung misst die Geschwindigkeit , mit der sich etwas ändert . Darüber sollten Sie nachdenken, bevor Sie mit Grafiken und Formeln beginnen. Hier sind einige Beispiele.

Angenommen, Sie fahren. Dann ändert sich die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit. Wenn Sie mit konstanten 30 Meilen pro Stunde fahren, erhöht sich die Entfernung um 30 Meilen pro Stunde Fahrt. Die Ableitung der Entfernung ist die Rate: 30 Meilen pro Stunde.

Das ist ein einfaches Beispiel, weil die Reisegeschwindigkeit konstant ist. Calculus wurde erfunden, um Situationen zu handhaben, in denen sich die Rate selbst ändert. Wenn Sie beispielsweise an einer roten Ampel starten und auf die gesetzliche Höchstgeschwindigkeit von 30 Meilen pro Stunde beschleunigen, ändert sich Ihre Geschwindigkeit. Die Ableitung der Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der Sie beschleunigen - die Beschleunigung. Sie können das in (Meilen pro Stunde) pro Sekunde messen.

In der Wirtschaft hängt die Anzahl der Kunden für Ihr Produkt von dem Preis ab, den Sie verlangen. Wenn Sie den Preis erhöhen, werden weniger Leute bei Ihnen kaufen. Die Ableitung der Anzahl der Kunden ist die Rate, mit der Sie sie verlieren, gemessen in (verlorene Kunden) pro (Dollar-Preiserhöhung). In diesem Fall ist die Ableitung negativ.

Populationen ändern sich im Laufe der Zeit. Für Mikroorganismen können Sie die Zeit in Stunden messen. Dann ist die Ableitung der Population die Anzahl neuer Organismen pro Stunde. Dann wird es interessant, denn die Anzahl der neuen Organismen pro Stunde hängt von der Population ab – je mehr Organismen man hat, desto mehr davon müssen sich vermehren. Die Ableitung der Population, gemessen in neuen Organismen pro Stunde, ist also das Produkt aus der Anzahl der Organismen und der Geburtenrate. Das bedeutet, dass die Ableitung der Bevölkerung (im Laufe der Zeit) proportional zur Bevölkerung ist. Das führt zu exponentiellem Wachstum .

Auf die gleiche Weise können Sie die Ableitung eines Graphen der Funktion y = f(x) beschreiben. Hier ändert sich die Höhe y, wenn sich der Wert von x ändert. Je steiler der Graph (an einem bestimmten Punkt) ist, desto größer ist die Änderung von y für jede bestimmte kleine Änderung von x. Die Rate, mit der sich y ändert, ist die Ableitung. Sie müssen nur an kleine Änderungen von x denken, da der Graph eine Kurve ist, deren Steilheit von Ort zu Ort unterschiedlich ist. Solange die Änderung von x klein ist, stimmt die Kurve fast mit der Tangente überein, deren Steigung genau die Änderungsrate ist, die Ihnen wichtig ist. (Mathematiker haben Jahrhunderte an Arbeit gebraucht, um die Idee genau zu verstehen, die ungefähr so ​​ausgedrückt wird: "Wenn Sie x nur um einen unendlich kleinen Betrag ändern, sind Kurve und Tangente gleich".)

Denken Sie jetzt über die Frage nach, die Sie gestellt haben. Der Flächeninhalt eines Quadrats hängt von seiner Seitenlänge ab. Die Ableitung misst die Rate, mit der sich die Fläche ändert, wenn sich die Seite ändert, gemessen in Einheiten wie (Quadratzentimeter Fläche) pro (Zentimeter Seite). Die Antwort von @TZakrevskiy oben erklärt, warum das nur die doppelte Seitenlänge ist. Hier ist eine analoge Frage: Erklären Sie, warum sich die Fläche mit der Rate 2 pi r ändert, wenn Sie einen Kreis mit Radius r vergrößern.

Ich wünschte, es gäbe mehr Zeit und mehr Anreiz, Zeit in Analysis-Kursen mit diesen Ideen zu verbringen, anstatt zu den Regeln und Formeln für Ableitungen (und Integrale) zu eilen.