Erwartungswert für voneinander unabhängige Zufallsvariablen

Lassen X 1 , . . . , X N Zufallsvariablen sein. Zeigen Sie, dass wenn für alle Funktionen aus R Zu R β 1 , . . . , β N , Das

E [ β 1 ( X 1 ) × . . . × β N ( X N ) ] = E [ β 1 ( X 1 ) ] × . . . × E [ β N ( X N ) ] ⟹ X 1 , . . . , X N  sind voneinander unabhängig

Hier stehe ich bisher mit der Frage:

Aus der Definition der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und der gegenseitigen Unabhängigkeit haben wir das

X 1 , . . . , X N  sind voneinander unabhängig ⟺ F X 1 , . . . , X N ( X 1 , . . . , X N ) = F X 1 ( X 1 ) × . . . × F X N ( X N )
Und durch die Definition des Erwartungswerts:
E [ β 1 ( X 1 ) × . . . × β N ( X N ) ] = ∫ − ∞ + ∞ . . . ∫ − ∞ + ∞ β 1 ( X 1 ) . . . β N ( X N ) F X 1 , . . . , X N ( X 1 , . . . X N ) D X 1 . . . D N X
E [ β 1 ( X 1 ) ] × . . . × E [ β N ( X N ) ] = ∫ − ∞ + ∞ β 1 ( X 1 ) F X 1 ( X 1 ) D X 1 . . . ∫ − ∞ + ∞ β N ( X N ) F X N ( X N ) D X N
Irgendwie muss ich zeigen, dass diese beiden erwarteten Werte oben implizieren F X 1 , . . . , X N ( X 1 , . . . , X N ) = F X 1 ( X 1 ) × . . . × F X N ( X N ) , aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das machen soll.

Ich denke, Sie sollten den Fall in Betracht ziehen, wo ( β 1 , … , β N ) ist eine Indikatorfunktion auf einer Teilmenge A von R N , so dass E ( β 1 ( X 1 ) × ⋯ × β N ( X N ) ) sollte einfach sein P ( ( X 1 , … , X N ) ∈ A ) .
@JeroenvanderMeer Ich konnte den Beweis herausfinden, ob β 1 , . . . β N waren Indikatorfunktionen für die Unterstützung von X 1 , . . . , X N , aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es für beliebige Funktionen verallgemeinern soll. Irgendwelche Tipps?

Antworten (1)

Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall N = 2 (Der allgemeine Fall gilt genauso). Lassen β 1 die Indikatorfunktion in einem bestimmten Intervall sein [ X 1 , X 2 ] Und β 2 die Anzeigefunktion an [ j 1 , j 2 ] . Dann

E ( β 1 X 1 × β 2 X 2 ) = ∫ X 1 X 2 ∫ j 1 j 2 F 1 , 2 ( X , j ) D X D j
wohingegen
E ( β 1 X 1 ) × E ( β 2 X 2 ) = ∫ X 1 X 2 ∫ j 1 j 2 F 1 ( X ) F 2 ( j ) D X D j
Wir sehen also, dass wir zwei Funktionen in haben 2 Variablen, nämlich F 1 , 2 ( X , j ) Und F 1 ( X ) F 2 ( j ) , deren Doppelintegrale auf jedem Quadrat gleich sind.

Ich behaupte, dass dies ausreicht, um darauf zu schließen F 1 , 2 ( X , j ) = F 1 ( X ) F 2 ( j ) fast überall (dh überall, wenn Ihre Funktionen kontinuierlich sind). Wenn Ihre Funktionen kontinuierlich sind, können Sie das folgende Argument anführen. Angenommen, das irgendwann ( X , j ) sie unterscheiden sich, sagen wir F 1 , 2 ( X , j ) < F 1 ( X ) F 2 ( j ) , dann bleibt diese Ungleichung auf einer kleinen Umgebung von wahr ( X , j ) , und wir können unser Quadrat einfach ausreichend klein wählen, um sicherzustellen, dass die beiden Integrale auch ungleich sind. Aber allgemeiner bleibt die Schlussfolgerung gültig, wenn die Funktionen lediglich messbar sind, siehe zB diese Antwort .

Danke für die Antwort! Ich folge deiner Argumentation und es ergibt für mich jedoch ein paar Fragen. Wie gilt diese Antwort für jede Funktion, in der der erwartete Wert vorhanden ist, nicht nur für Mengenindikatoren? Zum Beispiel, wenn β 1 = X 2 . Ich habe einen anderen Beitrag erstellt, in dem ich versuchte, Ihren vorherigen Kommentar zu verwenden. Gibt es eine Möglichkeit, diese Frage auf die gleiche Weise zu beantworten?
Sobald Sie die Gleichheit in dem Fall kennen, dass die β ich Indikatorfunktionen sind, haben Sie genug, um auf Unabhängigkeit zu schließen. Aus der Unabhängigkeit kann man dann umgekehrt schließen, dass tatsächlich die Gleichheit für alle gilt β ich .
Ich kann nicht glauben, dass ich das nicht bemerkt habe! Das macht dann Sinn, danke!
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