Ich verstehe diesen speziellen Teil des Lehrbuchs über die zählbare Vereinigung im Buch zur Wahrscheinlichkeitstheorie nicht [geschlossen]

Liegt es daran, dass, wenn alle Mengen in einer Vereinigung sind, alles zu einer großen Menge wird?

Das ist nicht ganz der Grund.

Unendliche Sets gibt es in verschiedenen Größen. Die kleinste Größe ist die Größe der natürlichen Zahlen oder, wie Sie sagten, jede Menge, die in eine bijektive Beziehung zu den natürlichen Zahlen gebracht werden kann. Solche Mengen werden „abzählbar“ oder „abzählbar unendlich“ genannt, weil man ihre Elemente der Reihe nach aufzählen kann, das erste, das zweite, das dritte und so weiter. (Das macht die Bijektion mit den natürlichen Zahlen.)

Aber einige unendliche Mengen sind größer, und es gibt keine Bijektion mit den natürlichen Zahlen. Solche Mengen werden „unabzählbar“ genannt. Ein Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen. Sie können einfach keine Liste aller reellen Zahlen erstellen; jede solche Liste lässt die meisten Zahlen aus. (Wenn dies bizarr erscheint, liegt es daran, dass es vor 150 Jahren entdeckt wurde und wir immer noch versuchen, es zu verstehen.)

Angenommen, Sie haben eine Familie von Mengen,$\mathcal F$. (Familie bedeutet genau dasselbe wie „Menge“, aber manchmal nennen wir eine Menge von Mengen eine „Familie“, weil es weniger verwirrend klingt.) Jedes Element der Familie$\mathcal F$ist eine Menge, vielleicht eine Menge von Punkten oder Zahlen oder so etwas.$\mathcal F$könnte eine endliche Familie sein, in diesem Fall könnten wir so etwas schreiben wie$\mathcal F = \{ S_1, S_2, S_3 \}$(wenn es drei Sätze in der Familie gibt) oder eine unendliche Familie.

Allerdings groß$\mathcal F$ist, können wir über die Vereinigung aller Mengen in sprechen$\mathcal F$. Irgendein Element$x$ist in der Vereinigung, wenn es ein Element einer Menge ist$\mathcal F$.

Wenn$\mathcal F$endlich ist, haben wir das, was manchmal eine "endliche Vereinigung" genannt wird; eine Vereinigung einer endlichen Familie von Mengen. Nehmen wir zum Beispiel an, dass die endliche Familie aus den drei Mengen besteht$S_1, S_2, S_3$, könnten wir die Vereinigung schreiben als

Wenn$\mathcal F$unendlich ist, können wir etwas Ähnliches tun. Sag das

Ah ah, nicht ganz! Diese Notationen sind nur sinnvoll, wenn$\mathcal F$ist eine abzählbare Mengenfamilie. Wenn nicht, wenn es sich um eine noch größere unendliche Familie von Mengen handelt, dann ist es zu groß für uns, eine Liste zu erstellen$S_1, S_2, S_3,\ldots$. Das bedeutet „unzählbar“. In diesem Fall machen diese Notationen keinen Sinn, und wir müssen einen anderen Weg finden, um über die Vereinigung zu sprechen.

Der Grund, warum dies in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig ist, ist, dass unzählige Mengen sich in vielerlei Hinsicht schlecht verhalten. (Deshalb versuchen wir immer noch, sie herauszufinden.) Sie sind unter anderem so schlecht: Für die Wahrscheinlichkeitstheorie messen wir, wie wahrscheinlich bestimmte Ereignisse sind. Die Maße sind Zahlen, die Wahrscheinlichkeiten genannt werden. Wir wollen das sagen, wenn event$A$hat eine Wahrscheinlichkeit von$a$und Veranstaltung$B$hat eine Wahrscheinlichkeit von$b$, dann können wir ein größeres Ereignis machen, das aus der Vereinigung von besteht$A$Und$B$, und es wird wahrscheinlich nicht mehr als haben$a+b$.

Dies funktioniert für endliche Vereinigungen und es funktioniert für zählbare Vereinigungen. Aber es funktioniert nicht für größere Gewerkschaften. Wenn Sie eine unzählbare Familie von Ereignissen haben, die jeweils eine Wahrscheinlichkeit haben$0$, ihre Vereinigung könnte eine Wahrscheinlichkeit von haben$1$. Dies passiert nicht mit zählbaren Gewerkschaften.

Ihr Lehrbuch möchte also bei endlichen und zählbaren Vereinigungen bleiben, weil wir nicht wissen, wie man die Wahrscheinlichkeitstheorie mit größeren Vereinigungen zum Laufen bringt.

Die Union$\bigcup_{j\,=\,1}^\infty C_j$heißt abzählbare Vereinigung, weil die Menge der Indizes$j\in\{1,2,3,\ldots\}$ist abzählbar unendlich und nicht überabzählbar unendlich.

Ein Satz$\mathcal{M}$heißt abzählbar, falls es eine surjektive Abbildung gibt$\psi:\mathbb{N}\to \mathcal{M}$. Betrachten Sie nun eine Familie von Mengen$\{A_i: i\in I\}$mit einigen Indexsätzen$I$. Wenn$I$ist zählbar, sagen wir die Union$\bigcup_{i\in I}A_i=\{x: \exists i \in I \text{ s.t. } x\in A_i\}$ist eine zählbare Vereinigung. Zum Beispiel, wenn$A_i=(i,i+1]$für$i\in\mathbb{N}$wir können schreiben$\mathbb{R}_{>0}$als zählbare Vereinigung$\bigcup_{i\in \mathbb{N}}A_i$.

Die Definition der zählbaren Vereinigung im Lehrbuch würde ich "abzählbar unendlich" nennen (weil ich endliche Mengen auch als zählbar betrachten würde). Bei der Wahrscheinlichkeitstheorie geht es um das Messen von Wahrscheinlichkeiten, also müssen wir einen Weg finden, Maß zu definieren. Das klingt einfacher als es ist, es gibt einige Paradoxien, die entstehen, wenn wir Maßnahmen nicht richtig definieren ( https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set oder https://en.wikipedia.org/wiki/Banach–Tarski_paradox ).

Die heutige Definition von Wahrscheinlichkeitsmaßen stützt sich auf Kolmogorovs Axiome ( https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms#Axioms ), die auf einem zugrunde liegenden Maßraum beruhen. Also, wenn die$A_i$sind einige Ereignisse mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, wollen wir, dass eine zählbare Vereinigung wieder ein Ereignis ist, für das eine Wahrscheinlichkeit gemessen werden kann.