Zeigen Sie, dass 1n−1∑ni=1(XiYi−X¯¯¯¯Y¯¯¯¯)1n−1∑i=1n(XiYi−X¯Y¯)\frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y}) ist ein unverzerrter Schätzer von Cov[X,Y].Cov[X,Y].\text{Cov}[X,Y] .

Question

Zeigen Sie, dass 1n−1∑ni=1(XiYi−X¯¯¯¯Y¯¯¯¯)1n−1∑i=1n(XiYi−X¯Y¯)\frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y}) ist ein unverzerrter Schätzer von Cov[X,Y].Cov[X,Y].\text{Cov}[X,Y] .

Mathematik
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Parseval

Annehmen, dass $(X_1,Y_1),...,(X_n,Y_n)$ ist eine Probe auf eine zweidimensionale Zufallsvariable $(X,Y)$ und das $E[X^2], \ E[Y^2]$ Und $E[XY]$ sind alle endlich, so dass die Varianzen und die Kovarianz wohldefiniert sind. Zeige, dass

$S = \frac{1}{N - 1} \sum_{ich = 1}^{N} (X_{ich} Y_{ich} - \bar{X} \bar{Y})$ $S=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y})$ ist ein unvoreingenommener Schätzer von $\text{Cov}[X,Y].$

Das soll ich also zeigen $E[S]=\text{Cov[X,Y]}.$ Jetzt

\begin{matrix} (1) & E [\sum_{ich = 1}^{N} (X_{ich} Y_{ich} - \bar{X} \bar{Y})] = \sum_{ich = 1}^{N} E [X_{ich} Y_{ich}] - N E [\bar{X} \bar{Y}] = N (E [X Y] - E [\bar{X} \bar{Y}]) . \end{matrix}

$E\left[\sum_{i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y})\right]=\sum_{i=1}^nE[X_iY_i]-nE[\overline{X}\overline{Y}]=n(E[XY]-E[\overline{X}\overline{Y}]).\tag1$

Nach der Varianzformel ist der letzte Schritt in $(1)$ kann umgeschrieben werden als

\begin{matrix} (2) & N (μ_{X} μ_{j} + Cov [X, Y] - (μ_{X} μ_{j} + Cov [\bar{X} \bar{Y}])) = Cov [X, Y] - Cov [\bar{X} \bar{Y}])), \end{matrix}

$n(\mu_x\mu_y+\text{Cov}[X,Y]-(\mu_x\mu_y+\text{Cov}[\overline{X}\overline{Y}]))=\text{Cov}[X,Y]-\text{Cov}[\overline{X}\overline{Y}])), \tag2$

Wo $\mu_x$ Und $\mu_y$ sind der jeweilige Mittelwert.

Fragen:

In $(2)$ , ich verstehe das aus der Kovarianzformel, die wir bekommen
$μ_{X} μ_{j} = E [X] E [Y] = E [X Y] - Cov [X, Y],$ $\mu_x\mu_y=E[X]E[Y]=E[XY]-\text{Cov}[X,Y],$ aber warum ist es auch gleich $μ_{X} μ_{j} = E [X] E [Y] = E [X Y] - Cov [\bar{X} \bar{Y}] ?$ $\mu_x\mu_y=E[X]E[Y]=E[XY]-\text{Cov}[\overline{X}\overline{Y}]?$ Sollten die Beispielmittel mit Überstreichung keinen Unterschied bewirken?
Wie gehe ich hier vor?

Graf Iblis

Die darüber liegenden Größen sind als Summen dividiert durch n definiert. Schreiben Sie sie auf und erweitern Sie das Produkt der Mittelwerte über X und Y als Doppelsumme und teilen Sie diese Doppelsumme in einen diagonalen Teil, in dem die Indizes gleich sind, und einen nicht-diagonalen Teil, in dem Sie die Werte für die Indizes, die es sind, summieren anders.

Antworten (1)

Zeigen Sie, dass 1n−1∑ni=1(XiYi−X¯¯¯¯Y¯¯¯¯)1n−1∑i=1n(XiYi−X¯Y¯)\frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y}) ist ein unverzerrter Schätzer von Cov[X,Y].Cov[X,Y].\text{Cov}[X,Y] .

Die darüber liegenden Größen sind als Summen dividiert durch n definiert. Schreiben Sie sie auf und erweitern Sie das Produkt der Mittelwerte über X und Y als Doppelsumme und teilen Sie diese Doppelsumme in einen diagonalen Teil, in dem die Indizes gleich sind, und einen nicht-diagonalen Teil, in dem Sie die Werte für die Indizes, die es sind, summieren anders.

Arash · Answer 1

Für den ersten Teil siehe das $E(\overline X)=\mu_x$ Und $E(\overline Y)=\mu_y$ Weil:

E (\bar{X}) = E (\frac{1}{N} \sum_{ich} X_{ich}) = \frac{1}{N} \sum E (X_{ich}) = \frac{1}{N} (N μ_{X}) = μ_{X} .

$E(\overline X)=E(\frac 1n\sum_i X_i)=\frac 1n\sum E(X_i)=\frac 1n (n\mu_x)=\mu_x.$ Für die zweite Frage folgen die Lösungen wie folgt:

Cov [\bar{X} \bar{Y}] = E [(\bar{X} - μ_{X}) (\bar{Y} - μ j)] = E (\bar{X} \bar{Y}) - μ_{X} μ_{j} .

$\text{Cov}[\overline X\overline Y]=E[(\overline X-\mu_x)(\overline Y-\mu y)]=E(\overline X\overline Y)-\mu_x\mu_y.$ Jetzt sehen Sie das

E (\bar{X} \bar{Y}) = \frac{1}{N^{2}} \sum_{ich, J} E (X_{ich} Y_{J}) = \frac{1}{N} E (X Y) + \frac{N - 1}{N} μ_{X} μ_{j} .

$E(\overline X\overline Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}E(X_iY_j)=\frac 1n E(XY)+\frac{n-1}{n}\mu_x\mu_y.$ Somit:

Cov [\bar{X} \bar{Y}] = \frac{1}{N} E (X Y) - \frac{1}{N} μ_{X} μ_{j} = \frac{1}{N} Cov (X Y) .

$\text{Cov}[\overline X\overline Y]=\frac 1n E(XY)-\frac 1n \mu_x\mu_y=\frac 1n \text{Cov}(XY).$ Stecken Sie dies ein und Sie haben:

E (S) = \frac{1}{N - 1} \times N \times (Cov (X Y) - \frac{1}{N} Cov (X Y)) = Cov (X Y) .

$E(S)=\frac{1}{n-1}\times n\times (\text{Cov}(XY)-\frac 1n \text{Cov}(XY))=\text{Cov}(XY).$

Woher folgt das $E [\bar{X} \bar{Y}) = \frac{1}{N^{2}} \sum_{ich, J} E (X_{ich} Y_{J}] ?$ $E[\overline X\overline Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}E(X_iY_j] ?$ Stimmt das generell $E [\bar{X_{1}} . . . \bar{X_{k}}] = \frac{1}{N^{k}} \sum_{ich, J} E [X_{ich} X_{J}]$ $E[\overline{X_1}...\overline{X_k}] = \frac{1}{n^k}\sum_{i,j}E[X_iX_j]$
Einfach multiplizieren $\overline X=\frac 1n\sum_{i=1}^n X_i$ Und $\overline Y=\frac 1n\sum_{j=1}^n Y_j$ .
Ahh... okay ich verstehe, dann ist es im Allgemeinen wahr, glaube ich. Danke!
Könnten Sie bitte die letzte Gleichheit hier erläutern: $E (\bar{X} \bar{Y}) = \frac{1}{N^{2}} \sum_{ich, J} E (X_{ich} Y_{J}) = \frac{1}{N} E (X Y) + \frac{N - 1}{N} μ_{X} μ_{j} .$ $E(\overline X\overline Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}E(X_iY_j)=\frac 1n E(XY)+\frac{n-1}{n}\mu_x\mu_y.$
Wenn $i=j$ , Dann $E(X_iY_j)=E(X_iY_i)=E(XY)$ und da sind $n$ verschiedene Paare als solche; Wenn $i\neq j$ Dann $X_i$ Und $Y_j$ sind also unabhängig $E(X_iY_j)=\mu_x\mu_y$ und da sind $\binom{n}{2}$ solcher Paare.
Danke schön! Aber gibt es eine Möglichkeit, dies zu berechnen, ohne kombinatorische Argumente zu verwenden?
Das glaub ich nicht; Irgendwann muss man die Terme zählen, die unabhängig sind, und die, die es nicht sind.
Wenn ich rechne $\frac{1}{n^2}{n\choose 2}$ Ich bekomme $\frac{n-1}{2n}$ und nicht $\frac{n-1}{n}.$ Ich verwende nur die Fakultäts- und Binomialformel, um zu expandieren.
@Parseval oh Entschuldigung; Sie sollten bestellte Paare zählen, damit die Binomail falsch ist und Sie erhalten $n(n-1)$ Bedingungen.
Es tut mir leid, ich verstehe nicht, wie es dir ergangen ist $n(n-1)$ .
Sie möchten die Anzahl der Paare zählen $X_iY_j$ mit $i\neq j$ ; es gibt $n$ verschiedene Möglichkeiten zu wählen $i$ . Für jeden fest $i$ , es gibt $n-1$ Wahl für $j$ (alle Nummern ausgenommen $i$ ). Deshalb haben wir $n(n-1)$ unterschiedliche Begriffe.

Zeigen Sie, dass 1n−1∑ni=1(XiYi−X¯¯¯¯Y¯¯¯¯)1n−1∑i=1n(XiYi−X¯Y¯)\frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_iY_i-\overline{X}\overline{Y}) ist ein unverzerrter Schätzer von Cov[X,Y].Cov[X,Y].\text{Cov}[X,Y] .

Parseval

Graf Iblis

Antworten (1)

Arash

Parseval

Arash

Parseval

Parseval

Arash

Parseval

Arash

Parseval

Arash

Parseval

Arash

Warum ändert sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem binomialen Experiment mit der proportionalen Änderung von Erfolgen und Misserfolgen?

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Datensatz aus einer KONTINUIERLICHEN Wahrscheinlichkeitsverteilung stammt?

Zentraler Grenzwertsatz zur exponentiellen Population

Fair Dice Wahrscheinlichkeitsfrage

Urnenprobleme: Mittelwert und Varianz finden - stecken

notation (ab)gebrauch für Zufallsvariablen, Verteilungen, pdfs/pmfs

Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Person C das Spiel gewonnen hat?

Wie verwendet man die Cramer-Rao-Untergrenze (CRLB), um zu zeigen, dass Y¯Y¯\bar{Y} der beste unvoreingenommene Schätzer von λλ\lambda ist?

6 Köpfe gefolgt von 6 Zahlen (Münzenwerfen)

Binomial- vs. Poisson-Verteilung