notation (ab)gebrauch für Zufallsvariablen, Verteilungen, pdfs/pmfs

Bei dieser Frage geht es um die Notation für Zufallsvariablen (RVs), Verteilungen und PDFs / PMFs und deren häufige (Miss-) Verwendung, da ich kürzlich verwirrt war.

Lassen$X,Y$bezeichnen Zufallsvariablen.

Erstens, Notationen, denen ich normalerweise begegne. Bitte korrigiere mich:

• Werte, die ein RV annimmt, werden normalerweise durch Kapitälchen gekennzeichnet$P(X=x) \in [0,1]$bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des RV$X$den Wert annehmen$x$
• $X_1,...,X_n \sim X$bedeutet "es seien X_1,...,X_n RV mit gleicher Verteilung wie$X$" (oft$\overset{\text{iid}}{\sim}$)
• Wenn$X$ist diskret, sein pmf wird normalerweise mit bezeichnet$p(x) = p_X(x) = P(X=x) \in [0,1]$
• Wenn$X$ist nicht diskret, sein pdf wird normalerweise mit bezeichnet$f(x) = f_X(x) \in [0,\infty)$oder$p(x) = p_X(x)$um gleichzeitig über diskrete und nicht-diskrete RVs zu sprechen
• die cdf wird normalerweise geschrieben als$F(x) = F_X(x) = P(X \leq x)$das ist eine Summe/Integral mit dem pdf/pmf

Die folgenden Notationen habe ich normalerweise "intuitiv" verstanden oder für schlampig gehalten, aber für einige Verwirrung gesorgt:

• "Lassen$X$ein Wohnmobil mit Verteilung sein$X \sim P(X)$" -- Was genau ist gemeint? Soll ich denken$P$-Robability hier oder ist es ein Symbol, das lautet: "Dies bezeichnet/repräsentiert die Verteilung von$X$"?
• "$p(X,Y), p(X), p(X|Y)$bezeichnen die gemeinsamen, marginalen, bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen" - Wie soll ich das verstehen? Ich meine, sie sollten Funktionen von Werten sein, die die RVs annehmen können, aber hier nehmen sie die RVs selbst als Argument?
• " Lassen$P(x,y)$eine (unbekannte) gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Instanzen und Labels sein$X × Y$. Gegeben eine Trainingsprobe${(x_i, y_i)}_{i=1}^n \overset{\text{iid}}{\sim} P(x,y)$..." - Wie ist das zu lesen?

Könnte mir jemand helfen und etwas Licht in die oben genannten Punkte bringen?

Sorry, falls meine Fragen doof sind. Ich habe nur das Gefühl, dass die Notation viel schlampiger wird, wenn ich angewandtes Zeug lese, und es würde mir helfen, festzuhalten, was eigentlich gemeint ist, oder zu wissen, dass man sich entspannen und lernen muss, wie man das schlampig-korrekt liest.