Falsche Erwartungswertdefinition im Buch? [Duplikat]

Question

Falsche Erwartungswertdefinition im Buch? [Duplikat]

Mathematik
Wahrscheinlichkeit
erwarteter Wert
Queueing-Theorie
Erneuerungsprozesse
Wahrscheinlichkeitstheorie

Panagiotis Basiouras Serrano

Ich bin derzeit im Krankenhaus und lese ein Buch über die Warteschlangentheorie. Ich bin in einem Beweis darauf gestoßen, und ich verstehe nicht, wie das wahr ist:

E [R_{J}] = \int_{0}^{\infty} P (R_{J} > u) D u

$E[R_j]=\int_0^\infty{P(R_j>u)du}$

Abgesehen davon, dass $R_j$ ist eine Zufallsvariable, die in definiert ist $[0,\infty)$ Ich glaube nicht, dass für meine Frage ein weiterer Kontext erforderlich ist.

Aufgrund meines Krankenhausaufenthalts habe ich keinen guten Zugang zu meinen einfacheren Wahrscheinlichkeitsbüchern, aber ich kann mich wirklich nicht erinnern, eine ähnliche alternative Definition für den erwarteten Wert gelesen zu haben.

Wenn jemand neugierig ist oder glaubt, dass der Kontext wichtig ist, in einem stochastischen Erneuerungsprozess mit Haltezeiten $X_j$ , für einen bestimmten Wert $x>0$ , $R_j$ ist definiert als $R_j=X_j$ Wenn $X_j\le x$ , Und $R_j=0$ ansonsten.

Unabhängig vom Kontext finde ich die fragliche Zeile jedoch schwer zu verstehen.

Panagiotis Basiouras Serrano

R_{j}

$R_j$ ist in der Tat kontinuierlich und positiv, ich verstehe nur nicht, warum die Formel wahr ist. Die einzige mir bekannte Definition für Erwartungswerte stetiger Zufallsvariablen ist

E (R_{j}) = \int u P (R_{j} = u) d u

$E(R_j)=\int uP(R_j=u)du$

Dominik Kutek

Es kann (durch Fubinii) bewiesen werden, dass für nicht negative Zufallsvariable

X

$X$ , beide

\int_{Ω} X (ω) d P (ω)

$\int_{\Omega} X(\omega)d\mathbb P(\omega)$ (dh - die Standarddefinition der Erwartung) und

\int_{0}^{\infty} P (X > t) d t

$\int_0^\infty \mathbb P(X >t)dt$ (dh Ihre Definition der Erwartung) ergibt das gleiche Ergebnis. Letzteres ist als Schichtkuchendarstellung bekannt und kann verallgemeinert werden

E [| X |^{p}] = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb E[|X|^p] = \int_0^\infty pt^{p-1}\mathbb P (|X| > t)dt$ (oder noch mehr, zum Beispiel Young-Funktionen)

Panagiotis Basiouras Serrano

Vielen Dank für Ihre Antwort, ich wusste nichts über die Schichtkuchendarstellung, das muss ich studieren!

Henry

@Surb warum

R_{j}

$R_j$ müssen durchgehend sein? Es muss nicht-negativ sein, da dies der allgemeinere Ausdruck wäre

E [R_{j}] = \int_{0}^{\infty} P (R_{j} > u) d u - \int_{- \infty}^{0} P (R_{j} < u) d u

$E[R_j]=\int_0^\infty{P(R_j>u)du}-\int_{-\infty}^0{P(R_j<u)du}$

Surb

@Henry: In der Tat ist Kontinuität nicht zwingend erforderlich.

Henry

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Antworten (2)

Falsche Erwartungswertdefinition im Buch? [Duplikat]

$R_j$ ist in der Tat kontinuierlich und positiv, ich verstehe nur nicht, warum die Formel wahr ist. Die einzige mir bekannte Definition für Erwartungswerte stetiger Zufallsvariablen ist $E(R_j)=\int uP(R_j=u)du$
Es kann (durch Fubinii) bewiesen werden, dass für nicht negative Zufallsvariable $X$ , beide $\int_{\Omega} X(\omega)d\mathbb P(\omega)$ (dh - die Standarddefinition der Erwartung) und $\int_0^\infty \mathbb P(X >t)dt$ (dh Ihre Definition der Erwartung) ergibt das gleiche Ergebnis. Letzteres ist als Schichtkuchendarstellung bekannt und kann verallgemeinert werden $\mathbb E[|X|^p] = \int_0^\infty pt^{p-1}\mathbb P (|X| > t)dt$ (oder noch mehr, zum Beispiel Young-Funktionen)
Vielen Dank für Ihre Antwort, ich wusste nichts über die Schichtkuchendarstellung, das muss ich studieren!
@Surb warum $R_j$ müssen durchgehend sein? Es muss nicht-negativ sein, da dies der allgemeinere Ausdruck wäre $E[R_j]=\int_0^\infty{P(R_j>u)du}-\int_{-\infty}^0{P(R_j<u)du}$
@Henry: In der Tat ist Kontinuität nicht zwingend erforderlich.

Masacroso · Answer 1

Wenn $X\geqslant 0$ du hast das

\begin{aligned} E [X] & = \int_{Ω} X D P = \int_{R} T D F_{X} (T) \\ = \int_{[0, \infty)} T D F_{X} (T) \\ = \int_{[0, \infty)} \int_{[0, \infty)} [S ⩽ T] D S D F_{X} (T) \\ = \int_{[0, \infty)} \int_{[0, \infty)} [S ⩽ T] D F_{X} (T) D S \\ = \int_{[0, \infty)} Pr [X ⩾ S] D S \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[X]&=\int_{\Omega }X dP=\int_{\mathbb{R}}t \,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}t \,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}\int_{[0,\infty )}[s\leqslant t]\,d s\,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}\int_{[0,\infty )}[s\leqslant t]\,dF_X(t)\,d s\\ &=\int_{[0,\infty )}\Pr [X\geqslant s]\,d s \end{align*}$

Wo $[s\leqslant t]$ ist eine Iverson-Klammer. Im Allgemeinen hast du das

\begin{aligned} E [X] & = \int_{Ω} X D P = \int_{R} T D F_{X} (T) \\ = \int_{[0, \infty)} T D F_{X} (T) + \int_{(- \infty, 0)} T D F_{X} (T) \\ = \int_{[0, \infty)} Pr [X ⩾ S] D S + \int_{(- \infty, 0)} \int_{(- \infty, 0)} - [S ⩾ T] D S D F_{X} (T) \\ = \int_{[0, \infty)} Pr [X ⩾ S] D S - \int_{(- \infty, 0)} \int_{(- \infty, 0)} [S ⩾ T] D F_{X} (T) D S \\ = \int_{[0, \infty)} Pr [X ⩾ S] D S - \int_{(- \infty, 0)} Pr [X ⩽ S] D S \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[X]&=\int_{\Omega }X dP=\int_{\mathbb{R}}t \,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}t \,dF_X(t)+\int_{(-\infty,0)}t \,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}\Pr [X\geqslant s]\,d s+\int_{(-\infty,0)}\int_{(-\infty,0)}-[s\geqslant t]\,d s\,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}\Pr [X\geqslant s]\,d s-\int_{(-\infty,0)}\int_{(-\infty,0)}[s\geqslant t]\,dF_X(t)\,d s\\ &=\int_{[0,\infty )}\Pr [X\geqslant s]\,d s-\int_{(-\infty,0)}\Pr [X\leqslant s]\,d s \end{align*}$

Wow, das macht sehr viel Sinn, ich habe versucht, es zu verstehen, indem ich Teile integriert habe, aber so macht es viel mehr Sinn. Danke schön! :)

TickJules · Answer 2

Lassen Sie mich einen Handbewegungsbeweis machen, der die Intuition erreicht - ein diskreter Fall, um es klarer zu machen. Angenommen, Sie haben einen einfachen Prozess, der X zurückgibt, was 1, 2 oder 3 mit Wahrscheinlichkeiten ist $p_1$ , $p_2$ Und $p_3$ . Der Erwartungswert ist $1p_1+2p_2+3p_3$ . Eine andere Möglichkeit, dies zu schreiben, ist wie folgt:

1 P_{1} +

$1p_1+\hspace{45pt}$

1 P_{2} + 1 P_{2} +

$1p_2+1p_2+\hspace{15pt}$

1 P_{3} + 1 P_{3} + 1 P_{3}

$1p_3+1p_3+1p_3$ Wenn Sie diese Summe spaltenweise lesen , erhalten Sie drei Terme:

1 p_{1} + 1 p_{2} + 1 p_{3}

$1p_1+1p_2+1p_3$ , Und

1 p_{2} + 1 p_{3}

$1p_2+1p_3$ und dann

1 p_{3}

$1p_3$ . Der erste Teil ist

P (X \geq 1)

$P(X\ge 1)$ , der zweite Teil ist

P (X \geq 2)

$P(X\ge 2)$ und der dritte Teil ist

P (X \geq 3)

$P(X\ge 3)$ . Der Erwartungswert ist also die Summe der Überschreitungswahrscheinlichkeiten.

Vielen Dank! Das ist eine sehr intuitive Art, darüber nachzudenken.

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