Wie visualisiert man die erwartete Anzahl von Vorkommen in Poisson- und Binomialverteilungen?

Nachfolgend einige Beispielversuche:

Im Durchschnitt hat nur 1 von 1000 Menschen eine besonders seltene Blutgruppe.

P = 1 / 1 , 000 , annehmen N = 10 , 000

Ein Werbetreibender lässt 10.000 Flugblätter in einer Stadt mit 2000 Häuserblocks fallen. Nehmen Sie an, dass jedes Flugblatt die gleiche Chance hat, auf jedem Block zu landen.

P = 1 / 2 , 000 , N = 10 , 000

In einer Klasse mit 80 Schülern fordert der Professor in jeder Unterrichtsstunde 1 zufällig ausgewählten Schüler zu einer Rezitation auf. Es gibt 32 Unterrichtsstunden in einem Semester.

P = 1 / 80 , N = 32

Wenn ich habe P ( X = J ) und gebeten, die erwartete Anzahl von zu finden N Wo X = J , ich denke, die Antwort ist N P ( X = J ) . Ich habe jedoch Probleme, mir vorzustellen, was das bedeutet.

Für das Flugblattbeispiel lasse ich die 10.000 Flugblätter 2000 Mal über die 2000 Blöcke und für einen bestimmten Block fallen, und 2000 P ( X = J ) ist die Häufigkeit, mit der ich diesen Block erwarte J Flugblätter? Ich habe auch gesehen, dass dies als 10.000 Flugblätter beschrieben wird, die über die 2.000 Blöcke verteilt sind und proportional im Durchschnitt vorhanden sein werden 2000 P ( X = J ) Blöcke mit J Flugblätter. Das verwirrt mich dahingehend, dass, obwohl ich sehen kann, wie jeder Versuch (Werfen eines einzelnen Flugblatts) unabhängig voneinander ist, alle Flugblätter in den 2000-Blöcken landen müssen; Wie kommt es, dass die hinzugefügten Einschränkungen (dh es ist unmöglich, dass alle Blöcke keine Blättchen bekommen) die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Blättchen nicht beeinflussen?

Wenn beide richtig sind, habe ich auch Probleme, die Äquivalenz zwischen den beiden zu ziehen, da ich für das Schülerbeispiel habe 32 P ( X = J ) Stunden, in denen ein Schüler 2, 3, ... mal aufgerufen wird, macht keinen Sinn, wenn wir nur einen Schüler pro Stunde auswählen (aber schon, wenn die 32 die Anzahl der Experimente ist). In ähnlicher Weise können wir für das Blutgruppenbeispiel beispielsweise nicht sowohl 0 als auch 4 Personen von 10.000 mit dieser bestimmten Blutgruppe haben, aber dies ist für verschiedene Gruppen von 10.000 möglich.

Antworten (2)

Die Art und Weise, darüber nachzudenken, ist wie folgt:

Sie haben 10000 Flugblätter (10000 Chancen, sie einzeln fallen zu lassen)

Bei einem bestimmten Block trifft ein Flugblatt ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2000. Hier können wir die Binormialverteilung anwenden. Sei X die Anzahl Flugblätter, die einen gegebenen Block treffen:

P ( X = k ) = B ich N Ö M ich A l ( N = 10000 , P = 1 / 2000 , k ) = ( N k ) P k ( 1 − P ) N − k

Die Anzahl der Flugblätter, die diesen bestimmten Block treffen, ist E[X] = np = 10000/2000 = 5

Jetzt möchten Sie die gesamte Population von Blöcken betrachten, dann haben wir X i für i = 1 ... 2000. Wir versuchen also, die Gesamtzahl der Blättchen auf n = 10000 zu beschränken. Wir haben die folgende gemeinsame PMF:

P ( X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , . . . X 2000 = k 2000 ) = ( 10000 k 1 , k 2 , . . . , k 2000 ) ( 1 2000 ) k 1 ( 1 2000 ) k 2 . . . ( 1 2000 ) k 2000 = ( 10000 k 1 , k 2 , . . . , k 2000 ) ( 1 2000 ) 10000

Der obige Ausdruck kann verwendet werden, um die Randverteilung für ein bestimmtes X i zu berechnen . Dies sollte Ihnen helfen, die Wahrscheinlichkeit der Blättchenzahl auf einem einzelnen Block mit der Blättchenzahl auf allen Blöcken zu verbinden.

Ich hoffe ich habe mich oben nicht vertan. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn etwas keinen Sinn ergibt.

b) Dies ist nur eine Poisson-Verteilung mit durchschnittlicher Trefferzahl = 5.

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Wie visualisiert man die erwartete Anzahl von Vorkommen in Poisson- und Binomialverteilungen?
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