Wetten auf das Erscheinen von HHT oder HTH in einer Reihe von Münzwürfen

Nehmen wir an, ich wette auf HHT und Sie wetten auf HTH. Ich behaupte, die Chancen stehen gut$2$Zu$1$zu meinen Gunsten.

Betrachten Sie es so. Früher oder später wird die Münze zum ersten Mal auf H fallen. Betrachten wir, was bei den nächsten beiden Überschlägen nach diesem ersten Kopf passiert. Es gibt vier Fälle.

1. HHT Ich gewinne.
2. HHH ich gewinne; früher oder später kommt die Münze T.
3. HTH Du gewinnst.
4. HTT Wir fangen von vorne an.

Das folgende Gleichnis kann den Fehler in Ihrem Denken erhellen oder auch nicht.

Eine U-Bahn folgt einer kreisförmigen Strecke und hält abwechselnd an den Stationen A, B, C, . . . X, Y, Z, A, B, C, . . . Sie und Ihr Freund taumeln an Bord und schlafen ein. Einige Zeit später wachen Sie beide zwischen den Stationen auf und haben keine Ahnung, wo Sie eingestiegen sind oder wo Sie sich jetzt befinden.

Sie: Ich frage mich, wo wir sind. Ich steige bei Q aus.

Ihr Freund: Ich wette mit Ihnen um zehn Dollar, dass wir meinen Stopp vor Ihrem erreichen.

Sie: Hm. Eine Station ist genauso wahrscheinlich wie die andere. Das ist eine faire Wette. Sie sind auf. Wo ist deine Haltestelle?

Dein Freund: P.

Ich fühle Ihren Schmerz: Sie erhalten viele Argumente, die erklären, warum Ihr Freund Recht hat, und Links zu früheren Stack-Tausch-Beiträgen, die sich ebenfalls auf die Seite Ihres Freundes stellen. Sogar Ihre eigenen Simulationen bestätigen, dass Ihr Freund Recht hat! Was (wenn überhaupt!) ist jedoch falsch an Ihrer gegenteiligen Argumentation?!? Die bereitgestellten Argumente und Feststellungen können zeigen, dass Ihre Argumentation falsch ist, aber keines davon erklärt, warum oder wo Ihre Argumentation falsch ist. Anstatt also noch ein weiteres Argument zu liefern, warum die Argumentation Ihres Freundes richtig ist, lassen Sie mich sehen, ob ich auf den Punkt bringen kann, warum Ihre Argumentation falsch ist.

Ich denke, dass der Kern Ihrer Argumentation die Idee ist, dass „an jedem Punkt in einer langen Folge von Kopf und Zahl jede spezifische Folge von drei Köpfen und Zahlen genauso möglich ist wie jede andere“.

Und ja, das stimmt in dem Sinne, dass wenn Sie an diesem Punkt X in der Sequenz beginnen und nur die nächsten drei Einträge dieser Sequenz betrachten . In der Tat ist dies genau so, wie wenn Sie sagen:

Es ist offensichtlich, dass die nächsten drei Saltos genauso wahrscheinlich HHT oder HTT oder irgendeiner der sechs anderen möglichen Sätze von drei Flips sein werden.

Ob jedoch eine bestimmte Dreierfolge vor einer anderen Dreierfolge erscheint, hängt auch davon ab, welche Einträge Sie vor diesem Punkt X haben. Wir erhalten also die Argumentation Ihres Freundes: Wenn die letzten beiden Ergebnisse, die Sie vor X erhalten haben, beide Kopf waren, dann Schon der nächste Eintrag könnte das Spiel auf der Stelle beenden.

Ihr Fehler könnte also als Ergebnis einer Mehrdeutigkeit in der Behauptung angesehen werden, „ab einem bestimmten Punkt eine bestimmte Sequenz zu erhalten“. Nochmals, wenn Sie damit das Ereignis meinen, dass eine bestimmte Sequenz ab einem Punkt in der Sequenz erhalten wird, dann haben Sie Recht: Ab diesem Punkt in der Sequenz ist es genauso wahrscheinlich, dass jede Sequenz erscheint wie jede andere. Aber was wir suchen, ist das Ereignis, eine bestimmte Sequenz von diesem Punkt im Spiel zu erhalten . Und zu jedem Zeitpunkt im Spiel machen die Ergebnisse, die passiert sind, bevor Sie den Punkt der Sequenz erreicht haben, an dem Sie sich zu diesem Zeitpunkt im Spiel befinden, einen Unterschied. Ich glaube, die Verschmelzung dieser beiden unterschiedlichen Bedeutungen von „von diesem Punkt an“ liegt im Kern des Fehlers in Ihrer Argumentation.

Ihre Intuition ist insofern richtig, als dass so viele HTH wie HHT in einer ausreichend langen Folge erscheinen werden. Wenn Sie diese Vorkommnisse in Ihren Simulationen zählen, können Sie dieses Ergebnis bestätigen, und wenn Sie mit Ihrem Freund ein (langweiliges) Spiel spielen: „Wir werfen 1000 Mal eine Münze, wir zählen, wie viele HHT und wie viele HTH es gibt und wer auch immer hat die meisten Siege", ist dies ein faires Spiel.

Was Sie jedoch spielen, ist ein anderes Spiel: Sie spielen "Welche Reihenfolge kommt zuerst?"; und dieses Spiel ist nicht fair.

Sie gewinnen nicht jedes Mal, wenn HTH erscheint: Sie gewinnen, wenn HTH erscheint und HHT noch nicht erschienen ist . Ihr Gegner gewinnt, wenn HHT erscheint und HTH noch nicht erschienen ist .

Der Schlüssel hier ist zu sehen, dass die Ereignisse (die gewinnenden Fälle) nicht unabhängig sind . HHT und HTH erscheinen genauso oft, aber die Hälfte der Zeit erscheint HTH nur einen Schlag nach HHT.

Um Ihrer Intuition zu helfen, nehmen wir an, dass niemand bei den ersten drei Münzwürfen gewinnt (dies entfernt 1/4 der Versuche, die Hälfte davon gewinnt und die andere Hälfte verliert). Betrachten Sie nun das erste HTH der Sequenz und fragen Sie sich, was der vorherige Flip war:

• Die Hälfte der Zeit wird es ein H sein, was das Muster ... HHTH macht. Sie verlieren, weil HHT nur eine Position vor HTH erschienen ist!
• Die Hälfte der Zeit wird es ein T sein, wodurch das Muster ... THTH wird. Es hängt alles davon ab, ob HHT vorher gefunden werden soll oder nicht. Sie können gewinnen oder nicht.

Die Symmetrie ist gebrochen, weil die beiden Muster HHT und HTH nicht unabhängig sind. Die Berechnungen in den anderen Antworten sind korrekt: Die Quoten stehen 2:1 gegen Sie.

Und wenn Sie Ihren Gegner austricksen wollen, bieten Sie ein Spiel an, bei dem es darum geht, „welche Reihenfolge kommt an zweiter Stelle“ …

Ich habe bereits eine mögliche Erklärung dafür gepostet, wo und wie Ihre Intuition Sie in die Irre führt, aber vielleicht tun Sie Folgendes:

Auch hier weisen Sie zu Recht darauf hin, dass an jeder bestimmten Stelle einer langen Sequenz eine bestimmte Sequenz genauso wahrscheinlich auftritt wie jede andere. Dies impliziert auch, dass die Anzahl dieser Untersequenzen, die Sie in jeder längeren Sequenz erhalten, für jede Untersequenz genau gleich ist.

[dies ist etwas, das Sie mit Ihren Simulationen bestätigen können: Sie sollten (wenn man kleine zufällige Variationen ignoriert) genauso viele HHTs und HTHs in all den Sequenzen erhalten, die Sie sich angesehen haben.]

Daher ist es sicherlich intuitiv sinnvoll, dass sich die durchschnittliche erste Position einer Teilsequenz innerhalb einer größeren Sequenz nicht zwischen den verschiedenen Teilsequenzen unterscheidet: Es gibt genauso viele HTHs wie HHTs, also wenn wir diese einfach zufällig in die größere Sequenz streuen Warum sollte einer im Durchschnitt früher erscheinen als jeder andere?

Das scheint in die Richtung zu gehen, die Sie argumentieren, aber leider funktioniert es nicht.

Wie die Antwort von @Evargalo zeigt: Die Ereignisse von HHT und HTH, die in einer langen Folge auftreten, sind nicht unabhängig. Aber es ist auch wahr, dass das Ereignis eines HTH-Ereignisses, das in einer langen Sequenz auftritt, auch nicht unabhängig vom Auftreten eines zweiten HTH-Ereignisses ist, denn sobald Sie ein HTH-Ereignis haben, haben Sie bereits das erste H eines zweiten HTH-Ereignisses. Was tatsächlich als Ergebnis passiert, ist, dass alle HTH-Vorkommen in einer Sequenz im Vergleich zu den Vorkommen von HHT-Ereignissen tendenziell stärker geclustert/zusammengeballt sind

[Auch dies ist etwas, das Sie in Ihren Simulationen versuchen und quantifizieren könnten, aber wenn Sie nur Ihre Grafik betrachten, können Sie sehen, dass die HTH-Ereignisse stärker geclustert sind als die HHT-Ereignisse ... aber auch längere Strecken haben kein solches Vorkommen dazwischen haben ... also könnten Sie sich die Standardabweichung der Abstände ihrer Vorkommen ansehen: Sie sollten feststellen, dass sie für HTH höher ist als für HHT]

Da andererseits zwischen zwei beliebigen HHT-Sequenzen keine Überlappung möglich ist, werden sich ihre Auftritte gegenseitig "wegschieben" und gleichmäßiger verteilt sein. Und als Folge davon liegt es nahe, dass das Auftreten des ersten HTH-Ereignisses tatsächlich weiter in der Sequenz liegen würde als das erste HHT-Ereignis.