Ausdrücken der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von AxAxAx in Form des pdf von xxx

Question

Ausdrücken der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von AxAxAx in Form des pdf von xxx

Funktionen
Intuition
Mathematik
Wahrscheinlichkeit

BRAND

Ich verstehe, dass Sie zum Beispiel eine Dichtefunktion haben könnten, die die Wahrscheinlichkeit misst, ein Ergebnis in einem bestimmten Intervall in Fuß zu beobachten, aber jemand möchte Meter anstelle von Fuß verwenden. Die Dichtefunktion hat die gleiche Form, aber das Argument wird durch den Umrechnungsfaktor zwischen Fuß und Meter skaliert. Ich weiß auch, dass die Form einer skaleninvarianten Funktion nicht unterscheidbar ist, wenn die Einheiten auf der x- und y-Achse skaliert sind. Ich verstehe auch die Ableitung von vollständig $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ die Sie finden, indem Sie auf den unten stehenden Link klicken. Endlich weiß ich das $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ gilt nur für Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen , die ich mit bezeichnen werde $f(x)$ Was ich suche, ist eine Antwort auf die folgende Frage.

Meine Frage ist; nach Neuordnung der Skaleninvarianzeigenschaft: $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ gibt $Af(Ax)=f(x)$ . Ich werde jetzt versuchen, das zu beweisen $f(x)$ erfüllt $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ für zwei Fälle: $f(x)=$ eine Konstante & $f(x)=$ eine Macht von $x$ .

Fall 1: Vermietung $f(x)=\frac{1}6$ , als $\frac{1}6$ ist eine gültige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf der Domäne $(1,7)$ und befriedigt

\int_{1}^{7} F (X) D X = 1

$\int_{1}^{7}f(x)dx=1$ Jetzt kenne ich diese Konstante

A

$A$ skaliert das Argument. Jetzt seit der Gleichung

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ gilt für alle

A

$A$ ; da es nur ein Skalierungsfaktor ist. Also lassen

A = 4

$A=4$ Zum Beispiel. Das dreht sich

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ hinein

4 * \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

$4*\frac{1}6=\frac{1}6$ , was aber offensichtlich nicht stimmt

W H Y

$WHY$ nicht? Können Sie mir ein Zahlenbeispiel geben, wann

f (A x) = \frac{1}{A} f (x)

$f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ ist befriedigt? Tut

f (A x) = \frac{1}{A} f (x)

$f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ alle befriedigen

x

$x$ ?

Übrigens; das ist mir bewusst $f(4x)$ könnte eine Streckung des Skalierungsfaktors bedeuten $\frac{1}4$ neben $x$ -Achse könnte sich drehen $Af(Ax)=f(x)$ hinein $4*\frac{1}4*\frac{1}6=\frac{1}6$ und habe es seitdem als Antwort abgelehnt $f(x)=\frac{1}6$ hat Domäne $1\leq\ x\leq7$ , aber die Funktion $f(4x)$ andererseits wird dann nur noch definiert wann $1\leq\ 4x\leq7$ , oder $\frac{1}4\leq\ x\leq\frac{7}4$ , also die beiden Funktionen $f(x)$ Und $f(4x)$ nicht die gleiche Domain haben, also $f(4x)$ kann kein konstantes Vielfaches von sein $f(x)$ .

Fall 2: Vermietung $f(x)=\frac{3}7x^2$ , als $\frac{3}7x^2$ ist eine gültige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf der Domäne $(1,2)$ und befriedigt

\int_{1}^{2} F (X) D X = 1

$\int_{1}^{2}f(x)dx=1$ Wieder vermieten

A = 4

$A=4$ , das dreht sich

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ hinein

4 * \frac{3}{7} (4 x)^{2} = \frac{3}{7} x^{2}

$4*\frac{3}7(4x)^2=\frac{3}7x^2$ , was offensichtlich wieder nicht stimmt. Ebenso, wenn

f (4 x)

$f(4x)$ könnte eine Streckung des Skalierungsfaktors bedeuten

\frac{1}{4}

$\frac{1}4$ neben

x

$x$ -Achse könnte sich drehen

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ hinein

4 * \frac{3}{7} (\frac{1}{4} x)^{2} = \frac{3}{7} x^{2}

$4*\frac{3}7(\frac{1}4x)^2=\frac{3}7x^2$ was eindeutig falsch ist.

Wenn alles, was ich bisher gesagt habe, richtig ist, dann habe ich gerade bewiesen, dass es keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gibt $f(x)$ die die skaleninvariante Eigenschaft für Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen erfüllt: $f(Ax)=\frac{1}Af(x)$ . Seit Nr $f(x)$ bestätigt, dass die Formel so aussieht, als hätte ich gerade bewiesen, dass die Formel falsch ist (obwohl die Ableitung korrekt ist - siehe http://nrich.maths.org/5937/solution ). Was fehlt mir hier?

Vielen Dank im Voraus.

Diese URL: http://nrich.maths.org/5937 ist für die NRICH Cambridge Mathematics-Website und führt Sie zu den vollständigen Fragen und Antworten, um die es in diesem Beitrag geht.

Mit freundlichen Grüßen

BRAND

Du hast Recht, sorry, sehr dummer Fehler von mir, es ist offensichtlich, dass ich kein Statistiker bin, danke für den Hinweis. Schauen Sie noch einmal nach: Ich habe die Domain so geändert

\int_{} F (X) D X = 1

$\int_{}f(x)dx=1$ ist diesmal definitiv zufrieden. Warum gibt es also keine Gleichberechtigung für

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ ?

Benutzer856

A f (A x) = f (x)

$Af(Ax)=f(x)$ ist eine Eigenschaft von skaleninvarianten Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen. Falls es bei dir nicht zutrifft

f

$f$ , das bedeutet nur, dass Ihr

f

$f$ ist nicht skaleninvariant.

BRAND

Danke für deine Antwort, aber da alle Potenzgesetze skaleninvariant sind, einschließlich

x^{0}

$x^0$ *(1/6) mein beispiel das f in meiner frage muss sein

Benutzer856

Bei näherem Nachdenken haben Sie Recht und die Webseite ist falsch. Die Pareto-Verteilung ist eine skaleninvariante Wahrscheinlichkeitsverteilung, die erfüllt

f (A x) = k f (x)

$f(Ax)=kf(x)$ für

k \neq 1 / A

$k\ne1/A$ .

BRAND

Ja, ich denke, Sie haben Recht. Ich habe ein weiteres Beispiel erstellt - diesmal eine Potenz von x und erfüllt die Eigenschaft immer noch nicht. Warum ist die Ableitung richtig, obwohl nein

f (x)

$f(x)$ erfüllt es?

Christian Blatter

Dein Problem hat nichts mit Skaleninvarianz zu tun. Es kommt von der Bezeichnung anders

f

$f\,$ 's (die

f_{[m]}

$f_{[{\rm m}]}$ und das

f_{[f t]}

$f_{[{\rm ft}]}$ ) mit demselben Buchstaben

f

$f$ .

Benutzer147263

Ein Ausweg aus dieser Verwirrung besteht darin, mehr Wörter zu verwenden und Symbolen eine genauere Bedeutung beizumessen. Zum Beispiel: verwenden

X

$X$ (nicht

x

$x$ ) für die Zufallsvariable, um sie vom Argument von zu unterscheiden

f

$f$ . Und schreiben Sie vielleicht in Begriffen wie „wenn

f

$f$ ist das pdf og

X

$X$ , dann das pdf von

A X

$AX$ Ist

g (x) = \frac{1}{A} f (x / A)

$g(x) = \frac{1}{A}f(x/A)$ . .... Schließlich vermeiden Sie bitte Großbuchstaben und Wörter wie "bitte", "helfen" usw. im Titel. Der Titel sollte beschreiben, worum es in der Frage geht, und nicht, wie sehr Sie Hilfe benötigen.

Benutzer856

Nun ... die Frage bezog sich früher speziell auf skaleninvariante Wahrscheinlichkeitsverteilungen, nicht auf die Skalierung willkürlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Allgemeinen. Siehe zum Beispiel den Link am Ende des Beitrags. Ich bin nicht davon überzeugt, dass der bearbeitete Titel mit der Absicht des OP übereinstimmt.

Antworten (3)

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Du hast Recht, sorry, sehr dummer Fehler von mir, es ist offensichtlich, dass ich kein Statistiker bin, danke für den Hinweis. Schauen Sie noch einmal nach: Ich habe die Domain so geändert $\int_{} F (X) D X = 1$ $\int_{}f(x)dx=1$ ist diesmal definitiv zufrieden. Warum gibt es also keine Gleichberechtigung für $Af(Ax)=f(x)$ ?
$Af(Ax)=f(x)$ ist eine Eigenschaft von skaleninvarianten Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen. Falls es bei dir nicht zutrifft $f$ , das bedeutet nur, dass Ihr $f$ ist nicht skaleninvariant.
Danke für deine Antwort, aber da alle Potenzgesetze skaleninvariant sind, einschließlich $x^0$ *(1/6) mein beispiel das f in meiner frage muss sein
Bei näherem Nachdenken haben Sie Recht und die Webseite ist falsch. Die Pareto-Verteilung ist eine skaleninvariante Wahrscheinlichkeitsverteilung, die erfüllt $f(Ax)=kf(x)$ für $k\ne1/A$ .
Ja, ich denke, Sie haben Recht. Ich habe ein weiteres Beispiel erstellt - diesmal eine Potenz von x und erfüllt die Eigenschaft immer noch nicht. Warum ist die Ableitung richtig, obwohl nein $f(x)$ erfüllt es?
Dein Problem hat nichts mit Skaleninvarianz zu tun. Es kommt von der Bezeichnung anders $f\,$ 's (die $f_{[{\rm m}]}$ und das $f_{[{\rm ft}]}$ ) mit demselben Buchstaben $f$ .
Ein Ausweg aus dieser Verwirrung besteht darin, mehr Wörter zu verwenden und Symbolen eine genauere Bedeutung beizumessen. Zum Beispiel: verwenden $X$ (nicht $x$ ) für die Zufallsvariable, um sie vom Argument von zu unterscheiden $f$ . Und schreiben Sie vielleicht in Begriffen wie „wenn $f$ ist das pdf og $X$ , dann das pdf von $AX$ Ist $g(x) = \frac{1}{A}f(x/A)$ . .... Schließlich vermeiden Sie bitte Großbuchstaben und Wörter wie "bitte", "helfen" usw. im Titel. Der Titel sollte beschreiben, worum es in der Frage geht, und nicht, wie sehr Sie Hilfe benötigen.
Nun ... die Frage bezog sich früher speziell auf skaleninvariante Wahrscheinlichkeitsverteilungen, nicht auf die Skalierung willkürlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Allgemeinen. Siehe zum Beispiel den Link am Ende des Beitrags. Ich bin nicht davon überzeugt, dass der bearbeitete Titel mit der Absicht des OP übereinstimmt.

JimmyK4542 · Answer 1

Das Problem hier ist, dass Sie verwenden $f$ um das pdf von zu bezeichnen $X$ sowie das pdf von $AX$ . Allerdings sind die pdfs zwei Zufallsvariablen $X$ Und $AX$ sind unterschiedliche Funktionen.

Lassen $f_X(x)$ bezeichnen das pdf von $X$ und lass $f_Y(y)$ bezeichnen das pdf von $Y = AX$ .

Die CD von $X$ Ist $F_{X}(x) = \Pr[X \le x] = \displaystyle\int_{-\infty}^{x}f_X(x)\,dx$ .

Die CD von $Y$ Ist $\displaystyle\int_{-\infty}^{y}f_Y(y)\,dy = F_Y(y) = \Pr[Y \le y] = \Pr[AX \le y] = \Pr[X \le \tfrac{y}{A}] = F_X(\tfrac{y}{A})$ .

Differenzieren Sie nun beide Seiten, um zu erhalten $f_Y(y) = \dfrac{1}{A}f_X(\tfrac{y}{A})$ .

Um dies in der Form zu erhalten, die Sie haben, ersetzen Sie $y = Ax$ zu bekommen $Af_Y(Ax) = f_X(x)$ .

Urgje · Answer 2

Ich denke, dass die Verwirrung dadurch entsteht $f(x)$ muss eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sein. Daher $f(x)\geqslant 0$ Und

\int D X F (X) = 1.

$\begin{equation*} \int dxf(x)=1. \end{equation*}$ Lassen Sie jetzt

F (A X) = k F (X) .

$\begin{equation*} f(Ax)=kf(x). \end{equation*}$ Jetzt

\int D X F (A X) = \frac{1}{A} \int D X F (X) = \frac{1}{A}

$\begin{equation*} \int dxf(Ax)=\frac{1}{A}\int dxf(x)=\frac{1}{A} \end{equation*}$ Und

\int D X F (A X) = k \int D X F (X) = k .

$\begin{equation*} \int dxf(Ax)=k\int dxf(x)=k. \end{equation*}$ Somit kann die skalierte Funktion nur dann eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sein, wenn

k = 1 / A

$k=1/A$ . Somit wird diese Anforderung behoben

k

$k$ .

Ihre Beispiele sind keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen. Für letzteres muss das Integral über den gesamten Raum 1 sein, was nicht der Fall ist $f(x)=x^2$ .
Hallo, ich habe es im Lichte Ihrer Erklärung noch einmal durchgedacht. Bitte schauen Sie sich meine Frage jetzt noch einmal an und sehen Sie, ob Sie mir sagen können, was ich falsch mache. Danke.

wecac · Answer 3

Übrigens; das ist mir bewusst $f(4x)$ könnte eine Streckung des Skalierungsfaktors bedeuten $\frac{1}4$ neben $x$ -Achse könnte sich drehen $Af(Ax)=f(x)$ hinein $4*\frac{1}4*\frac{1}6=\frac{1}6$ und habe es seitdem als Antwort abgelehnt $f(x)=\frac{1}6$ hat Domäne $1\leq\ x\leq7$ , aber die Funktion $f(4x)$ andererseits wird dann nur noch definiert wann $1\leq\ 4x\leq7$ , oder $\frac{1}4\leq\ x\leq\frac{7}4$ , also die beiden Funktionen $f(x)$ Und $f(4x)$ nicht die gleiche Domain haben, also $f(4x)$ kann kein konstantes Vielfaches von sein $f(x)$ .

Bei der obigen Argumentation ist Ihnen entgangen, dass auch der Definitionsbereich der neuen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion entsprechend skaliert. Angenommen, Sie haben etwas in Metern gemessen und Sie hatten die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung innerhalb des Bereichs 1 m bis 7 m verteilt ist. Wenn Sie Ihr Maßsystem auf Zentimeter ändern, ändert sich der Bereich auf [100 cm, 700 cm]. Wie die anderen Antworten andeuten, besteht die Verwirrung darin, dass für beide Funktionen dasselbe Symbol verwendet wird (vor der Skalierung und nach der Skalierung).

Fall 2 Gemäß den Ratschlägen aus anderen Antworten sollten wir unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsfunktionen mit unterschiedlichen Symbolen bezeichnen. Lassen $y = Ax$ Wo $x$ ist eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte $f_X(x) = \frac{3}{7}x^2$ und Domäne $[1,2]$ . Unter Verwendung des Ergebnisses der Skaleninvarianz wird die Wahrscheinlichkeitsdichte von $y$ Ist $f_Y(y) = \frac{1}{A}f_X(x)=\frac{1}{A}f_X(\frac{y}{A})$ mit Domäne $[A, 2A]$ . Verwenden $A=4$ , wir haben $f_Y(y) = \frac{1}{4}(\frac{3}{7}(\frac{y}{4})^2)$ . Jetzt können wir die Gleichheit an jedem Punkt überprüfen $x=\frac{3}{2} \in [1, 2]$ . $f_X(x) = \frac{3}{7}*\frac{9}{4}$ während $f_Y(4*\frac{3}{2}) = \frac{1}{4}*\frac{3}{7}*\frac{9}{4}$ . Für die berechneten Werte $4*f_Y(4*\frac{3}{2}) = f_X(\frac{3}{2})$ ist wahr.

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