Schätzen der Standardabweichung der Grundgesamtheit mit der Standardabweichung der Stichprobe

Im Grunde scheint die Frage hier zu sein, ob die z-Statistik oder die t-Statistik verwendet werden soll, um ein Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit zu finden$\mu$oder beim Testen einer Hypothese über$\mu.$

Vermuten$X_1, X_2, \dots, X_n$ist eine Zufallsstichprobe aus einer Normalbevölkerung, von der sowohl der Mittelwert$\mu$und die Standardabweichung$\sigma$sind unbekannt. Wir möchten ein 95%-Konfidenzintervall (KI) finden für$\mu.$

Wenn wir wüssten$\sigma$Dann

$$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim Norm(0, 1).$$ Daher $$P\left\{-1/96 \le \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le 1.96\right\} = 0.95,$$ in welchem $\mu$lässt sich in wenigen algebraischen Schritten isolieren $$P\{\bar X - 1.96\sigma/\sqrt{n} \le \mu \le \bar X + 1.96\sigma/\sqrt{n}\} = 0.95.$$ Und so sagen wir, dass ein 95% CI für $\mu$Ist $\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n},$in denen alle Mengen $\bar X, \sigma,$Und $n$sind bekannt. Die Zahlen $\pm 1.96$werden ausgewählt, weil sie 2,5 % Wahrscheinlichkeit von den oberen und unteren Enden der Standardnormalverteilung abschneiden und 95 % in der Mitte lassen.

Falls$\sigma$unbekannt ist, ist es zweckmäßig, die Standardabweichung der Stichprobe zu verwenden$S$stattdessen behaupten$\bar X \pm 1.96 S/\sqrt{n}$oder vielleicht$\bar X \pm 2 S/\sqrt{n},$ist ein ungefähres 95 %-KI für$\mu.$Wenn$n \ge 30,$Diese Annäherung ist ziemlich gut, aus Gründen, die wir gleich unten sehen.

Wenn$\sigma$ist nicht bekannt, die genaue Verteilung ist

$$T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim T(n-1),$$ Studentische t-Verteilung mit $n-1$Freiheitsgrade. Dann ein exaktes 95 % KI für $\mu$Ist $\bar X \pm t^* S/\sqrt{n},$Wo $t^*$schneidet 2,5% der Wahrscheinlichkeit vom oberen Ende ab $T(n-1)$und aufgrund der Symmetrie $-t^*$schneidet 2,5% vom unteren Schwanz ab. Wenn wir uns Tabellen der t-Verteilung ansehen, sehen wir das für $n \ge 30$(oder $n-1\le 29$), $t^*$beträgt etwa 2,0. Das Näherungsverfahren mit der Standardnormalverteilung und das exakte Verfahren mit der Student'schen t-Verteilung laufen also in etwa auf dasselbe hinaus.

Für kleinere Werte von$n$, die Werte von$t^*$deutlich größer werden. Zum Beispiel wenn$n = 10$, wir haben$t^* = 2.262.$Dadurch wird das 95 %-KI länger (ungenauer). Sie können sich diesen Genauigkeitsverlust als „Strafe“ für die Schätzung vorstellen$\sigma$von$S$anstatt den genauen Wert zu kennen$\sigma.$

Es gibt ein paar gute Gründe, die „Rule of 30“ ganz zu vergessen:

Erstens „funktioniert“ es nur für 95 % CIs. Für ein KI von 99 % müssen wir 0,5 % der Wahrscheinlichkeit von jedem Rand abschneiden: der normale Grenzwert ist$z^* = 2.576$und wir müssen die Stichprobengröße auf etwa erhöhen$n = 60$Vor$t^* \approx 2.6.$

Zweitens kennen wir bei der Verwendung von Statistiksoftware entweder den genauen Wert von$\sigma$oder das Programm wird es aus den Daten wie annähern$S.$Von Anfang an müssen wir wissen, ob wir ein z-Intervall oder ein t-Intervall machen. Die Verwendung einer unnötigen Regel zur Stichprobengröße verwirrt das Problem nur. Die richtige Regel lautet: Verwenden Sie z-Prozeduren ist$\sigma$ist bekannt (und ist es normalerweise nicht in der Praxis); Verwenden Sie t-Prozeduren von not.

Drittens versuchen einige Autoren von Grundschulbüchern, die „30er-Regel“ (ohne theoretische Begründung) für verschiedene Arten von Begrenzungsverfahren, die Anwendbarkeit des zentralen Grenzwertsatzes, die sichere Verwendung von t-Verfahren für nichtnormale Daten und so weiter zu verwenden An. Bei diesen Anwendungen ist 30 selten eine geeignete Trennlinie.

Keine der beiden Methoden zum Schätzen der Standardabweichung der Grundgesamtheit von der Stichprobe ergibt jedoch eine unverzerrte Schätzung$\frac{1}{n-1}$Methode erzeugt eine unverzerrte Schätzung der Varianz.

Wenn Sie die beiden Schätzungen der Varianz vergleichen

$$s_s^2 = \frac{\sum_i^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$ mit $$s_p^2 = \frac{\sum_i^n (x_i - \bar{x})^2}{n}$$ dann klar $\frac{s_p^2}{s_s^2} = \frac{n-1}{n}$und so $$\dfrac{s_p}{s_s} = \sqrt{1-\frac{1}{n}} \approx 1 - \frac{1}{2n}$$ was näher kommt $1$als $n$steigt (z $n=30$es geht um $0.983$und für $n=100$um $0.995$) und dieser Faktor ist weniger wichtig als die Unsicherheit bei der Schätzung der Populationsstandardabweichung von einer Zufallsstichprobe.