Überrascht über Notation im Fundamentalsatz

$G$ist irgendeine Stammfunktion. Die Unterscheidung hier ist wichtig, denn wenn eine Funktion$f(x)$hat eine Stammfunktion$F(x)$, Dann$G(x) = F(x) + C$ist auch eine Stammfunktion für$f$für jede Konstante$C$. Es gibt also viele, und jede von ihnen reicht aus, um das bestimmte Integral zu berechnen$\int_a^b f(x)\;dx$.

Es wird normalerweise mit geschrieben$F(b) - F(a)$wie Sie sagen, zum Beispiel auf Wikipedia und Mathworld .

Allerdings während$F$bezeichnet normalerweise die Stammfunktion von$f$, das ist nicht unbedingt wahr ($f$Und$F$kann je nach Kontext völlig unabhängig sein). Sie könnten angeben$G' = f$und verwenden Sie stattdessen die von Ihnen geschriebene Notation. Aber wenn das Buch das nicht getan hat ( EDIT: Ich sehe jetzt, dass es das getan hat ), verstehe ich Ihre Verwirrung.

Der Autor definiert eine bestimmte Funktion$F(x)$von$F(x) = \int_a^xf(x)dx$und zeigt, dass es eine Stammfunktion von ist$f(x)$.

Er nimmt nicht an oder behauptet, dass es die einzige Stammfunktion ist, also sagt er nicht "die" Stammfunktion.

Dann behandelt er den Fall für jedes andere Antiderivat, das möglicherweise existiert, und nennt es$G(x)$nur um ihm einen Namen zu geben, um das Ergebnis anzugeben.

Beachten Sie, dass Ihre Berufung$F$ "die" Stammfunktion ist in diesem Sinne falsch. Ich verstehe, was Sie meinen (und alle anderen auch), und das angegebene Ergebnis zeigt, dass es keine Rolle spielt, welche Stammfunktion Sie wählen, solange Sie zwei Werte davon subtrahieren, wodurch die willkürliche Konstante am Ende verschwindet. Der eigentliche Inhalt ist, dass sich alle Stammfunktionen letztlich nur durch eine Konstante unterscheiden.

Um das bereits Gesagte zu vertiefen, die Notation$F(x) = \int_a^x f(t) dt$bedeutet Folgendes: Skizzieren Sie einen Graphen von$f$, und suchen Sie den Bereich unter dem Teil des Diagramms, der bei einem Eingabewert von beginnt$a$und endet bei einem Eingangswert von$x$. Die Fläche, die Sie berechnen, ist$F(x)$.

Das kann man sich zum Beispiel ausrechnen$\int_1^x 2t dt = x^2 - 1$indem Sie einfach die Funktion skizzieren und die Formel für die Fläche von Trapezen verwenden. Also in diesem Beispiel,$f(x) = 2x$, Und$F(x)$in Teil 1 des Theorems muss die Funktion stehen$F(x) = x^2-1$.

Der zweite Teil des Satzes besagt, dass wenn Sie finden wollen$\int_a^b f(x) dx$, das heißt, die Fläche unter dem Graphen von$f$ab einem Eingangswert von$a$und endet bei einem Eingabewert von$b$, können Sie Folgendes tun: Wählen Sie eine beliebige Stammfunktion$G(x)$, für$f(x)$, und dann nehmen$G(b) - G(a)$. Das Ergebnis ist der gesuchte Bereich. Angenommen, Sie möchten suchen$\int_2^3 x^2 dx$. Nochmal,$f(x) = 2x$, aber du kannst nehmen$G(x)$sein$x^2 - 1$oder$x^2 + 3$oder$x^2$, da alle diese Funktionen haben$2x$als ihre Ableitung. Egal für welche davon Sie sich entscheiden,$G(3) - G(2)$gibt Ihnen die Fläche unter dem Diagramm von$f(x) = 2x$aus$x = 2$Zu$x = 3$.