Mehrfache Ableitungsnotation

Ich denke, die Antwort auf die erste Frage ist ziemlich einfach: das Symbol$\frac{ds}{dt}$ist kurz für die Grenze$\delta t\to 0$von

$$\frac{\delta s}{\delta t} = \frac{s(t+\delta t)-s(t)}{\delta t}.$$

Wann immer Sie sehen$d$denk an die Veränderung$\delta$in Anbetracht dessen, dass die Grenze von$\delta$auf null genommen wird.

Nun ist die zweite Ableitung der Grenzwert$\delta t\to 0$von

$$\frac{\frac{s(t+2\delta t)-s(t+\delta t)}{\delta t}-\frac{s(t+\delta t)-s(t)}{\delta t}}{\delta t} = \frac{\overbrace{(s(t+2\delta t)-s(t+\delta t))}^{\delta s(t+\delta t)}-\overbrace{(s(t+\delta t)-s(t))}^{\delta s(t)}}{\delta t^2} = \frac{\delta(\delta s)}{\delta t^2}.$$ und daher das Symbol$\frac{d^2s}{dt^2}$.

Bei der zweiten Frage gibt es zwei Antworten. Die offizielle Antwort ist die$\frac{ds}{dt}$ist nur ein Symbol für Ableitung, und Sie sollten nicht trennen$ds$Und$dt$, und die Tatsache, dass es funktioniert, ist nur ein Zufall, ...

Ich glaube nicht an Zufälle, also lasst uns tiefer graben, um zu sehen, ob es einen Grund dafür gibt, dass das funktioniert. Beginnen wir mit

$$\frac{ds}{dt} = v$$ Das heißt an jedem Punkt$t$,$\delta s$ist circa$v\,\delta t$. Und diese Annäherung ist umso genauer, je kleiner die ist$\delta t$. Nun, wenn Sie wissen wollen, wie viel$s$ändert sich über ein gewisses Zeitintervall$[0,t]$, addieren Sie einfach alle kleinen Änderungen in$\delta s$für alle kleineren Zeitintervalle$\delta t$. Jetzt haben wir $$s \approx \sum \delta s \approx \sum v\, \delta t$$ wo Annäherungen genau wann werden$\delta t$geht auf null. Das Limit$\delta t \to 0$von $$\sum v\, \delta t$$ ist als Integral definiert $$\int v\, dt$$

Also im Grunde, wenn Sie sich trennen$ds$Und$dt$, verschieben Sie die Einnahme der Grenze$\delta t\to 0$.

Siehe auch meine Antwort auf eine relevante Frage.

$\frac {d^2s}{dt^2}$ist die Änderungsrate der Entfernungsänderungsrate. Es ist ein Differentialoperator, der auf etwas einwirkt, das bereits eine Ableitung ist.

Während Leibnitz ursprünglich dachte$\frac {ds}{dt}$als Quotient von Infinitesimalen, das praktisch in jeder Hinsicht ein Bruch war, bedeutet dies heute nicht mehr.

$\frac {d}{dt}$ist in der Tat ein Symbol!

$\frac {ds}{dt}$ist der Differentialoperator,$\frac {d}{dt}$auf die Funktion angewendet$s(t)$dh$\frac {ds}{dt} = \frac {d}{dt} s(t)$

$\frac {d^2s}{dt^2}$ist der Differentialoperator, auf den angewendet wird$\frac {ds}{dt}$oder$\frac {d}{dt}\frac{ds}{dt}$

So$\frac {d^2s}{dt^2} = (\frac {d}{dt})(\frac {d}{dt}) s(t)$

Außerdem,$\frac {ds^2}{dt^2}$könnte interpretiert werden$(\frac {ds}{dt})^2$

Die mathematische Antwort lautet, wie von anderen in Kommentaren und Antworten angemerkt wurde$d/dt$ist im modernen Sprachgebrauch ein einzelnes Symbol, und daher ist es sinnvoll, dass der Operator zweimal angewendet wird$(d/dt)^2 = \frac{d^2}{dt^2}$.

Der Physiker behandelt oft so etwas wie$ds/dt$als Verhältnis zwischen kleinen Mengen - zumindest intuitiv. Rein mathematisch gesehen ist das irgendwo zwischen schlampig und falsch. In vielen Fällen funktioniert es aber funktionstüchtig und der Physiker macht gerne mit. Das scheint eher dem zu entsprechen, was Sie fragen.

In diesem Fall (wobei noch einmal darauf hingewiesen wird, dass dies mathematisch überhaupt nicht streng ist), könnten Sie es so betrachten. Vielleicht haben Sie

$v(t) = \frac{ds}{dt} \\ a(t) = \frac{dv}{dt}$

So weit so gut, denn jeder hat die Form, die Ihre Intuition verlangte - Der erste "sieht" aus wie ein Verhältnis zwischen kleinen Positionsänderungen und kleinen zeitlichen Änderungen. Das zweite "sieht" aus wie ein Verhältnis zwischen kleinen Geschwindigkeitsänderungen und kleinen Zeitänderungen. Wenn Sie ersetzen, dann bekommen Sie

$a(t) = \frac{d}{dt} \frac{ds}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}$

Ich werde noch einmal betonen, dass es mathematisch schlampig und / oder falsch ist, diese als separate Symbole zu betrachten, aber es stimmt mit dem überein, was Sie in Ihrer Frage als "physikalische Intuition" bezeichnet haben. Der$d^2$im Zähler kam, weil Sie den Bruch "vereinfacht" haben - Wenn Sie ihn in Form von Infinitesimalen sehen möchten, müssen Sie die letzte Gleichung von rechts nach links ausführen, um sie in eine andere Form zu bringen.

Ich werde einige Ideen zusammenfassen, die in diesem Papier vorgestellt werden: http://online.watsci.org/abstract_pdf/2019v26/v26n3a-pdf/4.pdf

Die beste Art zu denken$\frac{d}{dt}$ist wie zwei getrennte Dinge. (1) die Spitze$d$ist Differentialoperator (linear) auf was auch immer auf der rechten Seite ist und (2) die$dt$ist ein Infinitesimal, dh in diesem Fall wird derselbe Differentialoperator auf eine einzelne Variable angewendet$t$(z.B,$d(x^2) = 2xdx$und dividieren durch$dx$Erträge$2x$, dh die Ableitung von$x^2$). Infinitesimals werden durch die hyperreellen Zahlen ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number ) der Nicht-Standard-Analyse unterstützt , die in https://www.math.wisc.edu/~keisler/calc einführend behandelt werden .html .

In der Originalarbeit habe ich auf die Notation verwiesen$\frac{d^2s}{dt^2}$wird anhand der Beschreibung erklärt, die ich für die Erstbestellungsversion gegeben habe. Barletts Argument führt zum tatsächlichen mathematischen Äquivalent zweiter Ordnung von$\frac{d}{dt}$Sein (unter Verwendung der prägnanteren Arbogast-Notation auf der linken Seite, die auch von Euler bevorzugt wird)

$$D_t^2 = \frac{d^2s}{dt^2} - \frac{ds}{dt}\frac{d^2t}{dt^2}$$

wo normalerweise$t$als unabhängige Variable angenommen wird und somit die rechte Hälfte der Gleichung Null wird. Diese Erklärung ist allgemeiner als Fälle, in denen die unabhängige Variable dies ist$t$und ermöglicht die algebraische Manipulation der Leibniz-Notation zweiter Ordnung. In Summe,$dt$ist nicht "nur ein Symbol", es ist ein unendlich kleines und$\frac{d}{dt}$ist ein Differentialoperator oben mit dem$dt$eine algebraische Division durch ein Infinitesimal ist.

Die Notation entstand, indem zuerst die endlichen Differenzen betrachtet wurden, bevor zu den infinitesimalen Differenzen übergegangen wurde.

Also der erste Unterschied in$s=s(t)$Ist$\Delta s =s(t+\Delta t)-s(t),$was gibt

$$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t},$$ und der zweite Unterschied ist $$\Delta \Delta s =\Delta (s(t+\Delta t)-s(t))=\Delta s(t+\Delta t)-\Delta s(t)=s(t+2\Delta t)-2s(t+\Delta t)+s(t).$$ Somit ist der zweite Differenzenquotient $$\frac{\Delta \Delta s}{\Delta t\Delta t}\frac{s(t+2\Delta t)-2s(t+\Delta t)+s(t)}{\Delta t\Delta t}.$$

Beachten Sie, dass wir normalerweise schreiben$\Delta \Delta s=\Delta^2 s$Und$\Delta t \Delta t={\Delta t}^2.$

Dies zeigt, warum diese Wahl der Notation von Leibniz getroffen wurde.

Und jetzt noch ein Wort zu Differenzialen. Ein Differential ist eine infinitesimale Änderung einer Funktion, und ein Infinitesimal ist sozusagen eine unendlich kleine Größe. Man kann es sich halbformell als eine Menge vorstellen, die sich Null nähert. Nicht die Quantität allein oder die Nullgrenze, der sie sich nähert, sondern die Quantität und ihre Annäherung an Null. Somit sieht diese halbformale Definition aus wie die der Vektorgrößen der Physik, die einen Begriff gerichteter Größen erfassen. Das ist es, was der Begriff des Infinitesimal einfängt – unsere Intuition von Zeitpunkten, Punkten auf einer Linie usw.

Abgesehen davon ist klar, dass wir Differentiale separat behandeln und Operationen an ihnen durchführen können - und so wurden sie von Anfang an verwendet (daher die Differentialrechnung, Differentialgleichungen usw.). Insbesondere wenn wir an Größen denken, die von einer einzigen unabhängigen Variablen abhängen, dann können wir die Differenzen solcher Größen addieren, subtrahieren, multiplizieren, um ähnliche Differenzen zu erhalten. Bei der Division müssen wir jedoch vorsichtig sein, auch wenn das Differential im Nenner nicht das einer konstanten Funktion ist, da das Ergebnis nicht mehr immer ein Differential ist. In vielen Fällen ist es eine Funktion, und deshalb geht es in der Differentialrechnung darum, diese Art von Verhältnis von Differentialen zu berechnen.

Wenn wir zur Integration kommen, sammeln wir einen kontinuierlichen Strom von Differenzen, um eine Menge zu erhalten.

Das Ergebnis von all dem ist, dass Sie Recht haben. Auch wer die Rede von Differentialen (auch nach ihrer Berechtigung in der sogenannten Nichtstandardanalyse) verbannen würde, kommt nicht umhin, sie bei der Berechnung von Integralen zu verwenden. Und ich kann mir nicht vorstellen, dass sie noch so reden, wenn sie zum Beispiel über beliebige Mannigfaltigkeiten integrieren wollen. Mit Sorgfalt und Verständnis kann man also mit Differentialen rechnen, sobald man ihre Herkunft und Verhaltensregeln versteht – es sind nur unendlich kleine Unterschiede, das heißt, wir können uns das vorstellen$\rm d$als das Paar$(\Delta, \Delta\to 0),$und sie gehorchen vielen der üblichen Regeln eines Rings (sobald Sie es nur mit einer unabhängigen Variablen zu tun haben). Bei mehr als einer unabhängigen Variablen werden die Dinge ein wenig komplizierter, und man muss möglicherweise zur multilinearen Algebra greifen, um Hilfe zu erhalten. Aber das ist eine andere Geschichte.