Beispiele für nicht-triviale ausschließlich irrationale Integrale?

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Beispiele für nicht-triviale ausschließlich irrationale Integrale?

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Infinitesimalrechnung
Integration
Mathematik
bestimmte Integrale
irrationale Zahlen

Robert Lee

Ein sehr berühmtes Integral ist

$\begin{matrix} (1) & \int_{R} \frac{\cos (X)}{X^{2} + 1} D X = \frac{π}{e} \end{matrix}$ $\int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(x)}{x^2 +1} \, dx = \frac{\pi}{e} \tag{1}$

wie die Antworten auf diese Frage zeigen .

Ich finde dieses Integral besonders interessant, da das Ergebnis ausschließlich als Kombination (mit „Kombination“ meine ich ein Produkt/Quotient/Addition/Potenzierung/Logarithmus) von irrationalen Zahlen geschrieben wird , wobei ich hier „ ausschließlich irrational “ so meine Die Antwort beinhaltet keine anderen Faktoren rationaler Zahlen in Kombination mit den Irrationalen. Zum Beispiel das Integral:

$\int_{0}^{\infty} \frac{X^{2}}{e^{X} - 1} D X = 2 ζ (3)$ $\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^x-1}\, dx = 2 \zeta(3)$

Ich würde nicht in Betracht ziehen, wegen des Faktors "ausschließlich" irrational zu sein $2$ multiplizieren $\zeta(3)$ .

Ich beschloss, nach anderen ausschließlich irrationalen Integralen ähnlich wie zu suchen $(1)$ die mehrere irrationale Zahlen in ihrem Ergebnis kombinieren, aber zu meiner Überraschung konnte ich nicht viele ähnliche Beispiele finden. Die meisten Ergebnisse, die ich gefunden habe, waren " einfach-irrational ", wie die folgenden Integrale:

$\int_{R} e^{- X^{2}} D X = \sqrt{π}, \int_{0}^{1} \ln (\ln (\frac{1}{X})) D X = - γ, \int_{1}^{\infty} \frac{\ln (X)}{1 + X^{2}} D X = G$ $\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}, \qquad \int_{0}^{1} \ln\left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)\, dx=-\gamma, \qquad \int_{1}^{\infty}\frac{\ln(x)}{1+x^2} \, dx = G$

die, obwohl sie ausschließlich irrational sind, auch in Form eines einzigen berühmten Irrationals geschrieben werden können (daher der Spitzname, den ich ihnen gegeben habe). Einige andere häufige Funde waren "Beinaheunfälle" wie:

$\int_{0}^{\infty} e^{- X} \ln^{2} (X) D X = γ^{2} + \frac{π^{2}}{6}, \int_{1}^{\infty} \frac{(X^{4} - 6 X^{2} + 1) \ln (\ln (X))}{(1 + X^{2})^{3}} D X = \frac{2 G}{π}$ $\int _0^{\infty }e^{-x}\ln ^2\left(x\right)\ dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}, \qquad \int_{1}^{\infty} \frac{(x^4 - 6x^2+1)\ln(\ln(x))}{(1+x^2)^3}\, dx = \frac{2G}{\pi}$

Tatsächlich war das einzige andere ausschließlich irrationale Integral, das ich nicht auch einfach irrational fand, das Integral

$\begin{matrix} (2) & \int_{0}^{\infty} \frac{(1 - X^{2}) {sech}^{2} (\frac{π X}{2})}{(1 + X^{2})^{2}} D X = \frac{ζ (3)}{π} \end{matrix}$ $\int_{0}^{\infty} \frac{(1-x^2) \, \text{sech}^2\left(\frac{\pi x}{2} \right)}{(1+x^2)^2}\, dx = \frac{\zeta(3)}{\pi}\tag{2}$

Natürlich gibt es triviale Integrale, die tatsächlich ausschließlich irrationale Ergebnisse liefern. Zum Beispiel

$\int_{0}^{\frac{π}{e}} 1 D X = \frac{π}{e}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{e}} 1 \, dx = \frac{\pi}{e}$

aber ich möchte diese Art von Integralen vermeiden. Ein anderer Typ ist die "verkleidete" Lösung, die so etwas wäre

$\int_{R} \frac{Sünde (X)}{e X} D X = \frac{π}{e}, \int_{- 1}^{1} \frac{1}{4 X} \sqrt{\frac{1 + X}{1 - X}} \ln (\frac{2 X^{2} + 2 X + 1}{2 X^{2} - 2 X + 1}) D X = π arccot (\sqrt{φ})$ $\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin(x)}{\color{purple}{e}x}\, dx= \frac{\pi}{e}, \qquad \int_{-1}^1\frac{1}{\color{purple}{4}x}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\ln\left(\frac{2\,x^2+2\,x+1}{2\,x^2-2\,x+1}\right)\ dx =\pi \, \text{arccot}\left(\sqrt{\varphi} \right)$

die in Wirklichkeit nur einfach irrationale Lösungen oder Beinaheunfälle sind, wo wir gerade a multipliziert haben $\color{purple}{\text{factor}}$ auf beiden Seiten. Ich möchte auch diese Art von Integralen vermeiden.

Meine Frage ist:

Kennt jemand ausschließlich irrationale Integrale wie $(1)$ Und $(2)$ wo Sie mehrere verschiedene Irrationale im Ergebnis kombinieren? Vermeiden Sie vorzugsweise einfach irrationale, getarnte oder triviale Integrale wie meine anderen Beispiele.

Idealerweise möchte ich Ergebnisse, die ausschließlich irrationale (und auch sehr wahrscheinliche, aber noch unbewiesene irrationale ) Zahlen kombinieren, wie z $e,\,\pi$ , Goldener Schnitt $\varphi ,\, \zeta(\text{Odd integer}),\,\ln(\text{Prime number}),\, \sqrt{\text{Prime number}}$ , Euler-Mascheroni-Konstante und katalanische Konstante; Wobei ich mit "Kombination" meine, dass diese Zahlen addiert/multipliziert/dividiert/potenziert werden oder das Argument einer trigonometrischen Funktion sind, auf eine Weise, die sich nicht zu Faktoren rationaler Zahlen vereinfacht, dh ohne so etwas $\ln\left(e^2\right)$ .

Jede Hilfe oder Vorschläge werden sehr geschätzt. Vielen Dank!

Jose Carlos Santos

Ich denke, dass das $ Big-List- Tag hier relevanter ist als die Integration oder die Freizeit-Mathematik- Tags.

Azlif

Hmmm, es ist interessant, woher wissen Sie, dass Euler-Mascheroni-Konstante

γ

$\gamma$ ist irrational?

Robert Lee

@Azlif, ahhhhh, tatsächlich ist mein Wunschdenken wieder einmal aufgetaucht. Ich vergesse, wie viele wahrscheinliche Kandidaten sich nicht als irrational erwiesen haben. Danke für die Kommentare!

Zacky

\int_{0}^{\infty} \exp (- \frac{3 X^{2} + 15}{2 X^{2} + 18}) \cos (\frac{2 X}{X^{2} + 9}) \frac{D X}{X^{2} + 1} = \frac{π}{e}

$\int_0^\infty \exp\left(-\frac{3x^2+15}{2x^2+18}\right)\cos\left(\frac{2x}{x^2+9}\right)\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi}{e}$

\int_{0}^{1} X^{- X} (1 - X)^{X - 1} Sünde π X D X = \frac{π}{e}

$\int_0^1 x^{-x}(1-x)^{x-1}\sin\pi x dx=\frac{\pi}{e}$

\int_{0}^{1} \ln (\frac{1 - X}{1 + X}) \ln (\frac{1 - X^{2}}{1 + X^{2}}) \frac{D X}{X} = π G

$\int_0^1 \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\ln\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\frac{dx}{x}=\pi G$

Robert Lee

@Zacky, danke! Das sind genau die Ergebnisse, die ich gesucht habe. Könnten Sie diese Integrale als Antwort posten, damit sie für die Menschen besser sichtbar sind?

Zacky

Die meisten davon sind bereits auf dieser Seite gepostet, deshalb habe ich sie als Kommentar gepostet.

ToniK

Laut Wikipedia ist auch nicht bekannt, ob Catalan konstant ist

G

$G$ ist irrational.

Setness Ramesory

\int_{0}^{\infty} \frac{\ln (X)}{(X + 1) (X + 2) (π^{2} + \ln^{2} X)} D X = γ + Betreff [ψ^{(0)} (\frac{\ln 2}{2 π ich})]

$\int_{0}^{\infty} \frac{\ln (x)}{(x+1)(x+2)(\pi^2+\ln^2x)} \text{d}x=\gamma+\text{Re}\left [ \psi^{(0)}\left (\frac{\ln 2}{2\pi i} \right ) \right ]$

Antworten (4)

Beispiele für nicht-triviale ausschließlich irrationale Integrale?

Ich denke, dass das $ Big-List- Tag hier relevanter ist als die Integration oder die Freizeit-Mathematik- Tags.
Hmmm, es ist interessant, woher wissen Sie, dass Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$ ist irrational?
@Azlif, ahhhhh, tatsächlich ist mein Wunschdenken wieder einmal aufgetaucht. Ich vergesse, wie viele wahrscheinliche Kandidaten sich nicht als irrational erwiesen haben. Danke für die Kommentare!
$\int_{0}^{\infty} \exp (- \frac{3 X^{2} + 15}{2 X^{2} + 18}) \cos (\frac{2 X}{X^{2} + 9}) \frac{D X}{X^{2} + 1} = \frac{π}{e}$ $\int_0^\infty \exp\left(-\frac{3x^2+15}{2x^2+18}\right)\cos\left(\frac{2x}{x^2+9}\right)\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi}{e}$ $\int_{0}^{1} X^{- X} (1 - X)^{X - 1} Sünde π X D X = \frac{π}{e}$ $\int_0^1 x^{-x}(1-x)^{x-1}\sin\pi x dx=\frac{\pi}{e}$ $\int_{0}^{1} \ln (\frac{1 - X}{1 + X}) \ln (\frac{1 - X^{2}}{1 + X^{2}}) \frac{D X}{X} = π G$ $\int_0^1 \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\ln\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\frac{dx}{x}=\pi G$
@Zacky, danke! Das sind genau die Ergebnisse, die ich gesucht habe. Könnten Sie diese Integrale als Antwort posten, damit sie für die Menschen besser sichtbar sind?
Die meisten davon sind bereits auf dieser Seite gepostet, deshalb habe ich sie als Kommentar gepostet.
Laut Wikipedia ist auch nicht bekannt, ob Catalan konstant ist $G$ ist irrational.
$\int_{0}^{\infty} \frac{\ln (X)}{(X + 1) (X + 2) (π^{2} + \ln^{2} X)} D X = γ + Betreff [ψ^{(0)} (\frac{\ln 2}{2 π ich})]$ $\int_{0}^{\infty} \frac{\ln (x)}{(x+1)(x+2)(\pi^2+\ln^2x)} \text{d}x=\gamma+\text{Re}\left [ \psi^{(0)}\left (\frac{\ln 2}{2\pi i} \right ) \right ]$

Quanto · Answer 1

Quanto

Dieser ist keineswegs trivial

\int_{0}^{1} \frac{\arctan^{2} X \ln \frac{X}{(1 - X)^{2}}}{X} D X = G^{2}

$\int_0^1 \frac{\arctan^2x\ln\frac{x}{(1-x)^2}}xdx=G^2$

Laxmi Narayan Bhandari

Offensichtlich. Dies ist das erste Mal, dass ich die katalanische Konstante im Quadrat im Wert eines Integrals gesehen habe.

Quanto

@LaxmiNarayanBhandari - Selbst konstruiert.

Quanto

Hier sind einige subtilere

\begin{aligned} \ln \frac{2}{π} & = \int_{0}^{1} \frac{1 - X}{(1 + X) \ln X} D X \\ - γ π & = \int_{R} \frac{Sünde X \ln | X |}{X} D X \\ \frac{π}{ϕ^{1 / 2}} & = \int_{0}^{π} \frac{{bräunen}^{- 1} (1 + \cos X)}{1 + \cos X} D X \end{aligned}

$\begin{align} \ln\frac2\pi &=\int_0^1 \frac{1-x}{(1+x)\ln x}dx\\ -\gamma \pi&= \int_{\mathbb R}\frac{\sin x\ln|x|}xdx\\ \frac\pi{\phi^{1/2}}&=\int_0^\pi \frac{\tan^{-1}(1+\cos x)}{1+\cos x}dx\\ \end{align}$

Laxmi Narayan Bhandari

OMG. Sie konstruieren Integrale. 😳

Quanto

@LaxmiNarayanBhandari - nur die

G^{2}

$G^2$ -Integral. die drei oben genannten sind bekannt.

Robert Lee

@Quanto, falls Sie die Methode teilen möchten, mit der Sie dieses Ergebnis erstellt haben, habe ich in dieser Frage ein Kopfgeld für alternative Beweise für dieses Problem gestartet. Ich bin sehr gespannt, wie man auf so ein Ergebnis kommt!

Robert Lee · Answer 2

Während ich auf dieser Seite nach den Integralen suchte, die @Zacky in den Kommentaren gepostet hatte, fand ich einige weitere Ergebnisse:

Aus dieser Antwort von Franklin Pezzuti Dyer

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (X^{2} + \ln^{2} (\cos (X))) D X & = π \ln (\ln (2)) \end{aligned}$ $\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(x^2+\ln^2(\cos(x)))\, dx&=\pi\ln(\ln(2)) \end{align*}$

Aus dieser und dieser Antwort von Zacky (nochmals vielen Dank :D)

$\begin{aligned} \int_{R} \frac{Sünde (X - \frac{1}{X})}{X + \frac{1}{X}} D X = \frac{π}{e^{2}} \\ \int_{0}^{\frac{π}{2}} X \ln (Kinderbett (\frac{X}{2}) {(\frac{Sek X}{2})}^{4}) D X = π G \end{aligned}$ $\begin{align*}\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin \left(x-\frac{1}{x}\right) }{x+\frac{1}{x}}\, dx=\frac{\pi}{e^2}\\ \int_0^\frac{\pi}{2} x\ln\left(\cot\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sec x}{2}\right)^4\right)\, dx=\pi G \end{align*}$

Aus dieser Antwort von Felix Marin

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (1 + 4 {Sünde}^{4} (X)) D X = π (\ln (φ + \sqrt{φ}) - \ln (2))$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(1+4\sin^4 (x)\right)\, dx = \pi \left(\ln \left( \varphi+\sqrt{\varphi} \right) - \ln(2)\right)$

Aus diesem AOPS-Thread

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (\ln^{2} (\frac{1}{X}))}{(1 + X)^{2}} D X = \ln (π) - \ln (2) - γ$ $\int_{0}^{1} \frac{\ln\left(\ln^2\left(\frac{1}{x} \right) \right)}{(1 + x)^2} \, dx = \ln(\pi) - \ln(2) - \gamma$

Omegadot · Answer 3

Hier sind einige $\pi$ über $e$ Variationen zu einem Thema. Offensichtlich gibt es eine enge Verbindung zwischen jedem der Integrale.

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{Sünde X}{X (1 + X^{2})} D X & = π - \frac{π}{e}; \\ \int_{- \infty}^{\infty} \frac{X Sünde X}{1 + X^{2}} D X & = \frac{π}{e}; \\ \int_{- \infty}^{\infty} \frac{X Sünde (2 X)}{(1 + X^{2})^{2}} D X & = \frac{π}{e^{2}}; \\ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (3 X)}{(1 + X^{2})^{2}} D X & = \frac{π}{e^{3}}; \\ \int_{0}^{\infty} \frac{X Sünde (4 X)}{(1 + X^{2})^{2}} D X & = \frac{π}{e^{4}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x(1 + x^2)} dx &= \pi - \frac{\pi}{e};\cr \int_{-\infty}^\infty \frac{x \sin x}{1 + x^2} dx &= \frac{\pi}{e};\cr \int_{-\infty}^\infty \frac{x \sin (2x)}{(1 + x^2)^2} dx &= \frac{\pi}{e^2};\cr \int_0^\infty \frac{\cos (3x)}{(1 + x^2)^2} dx &= \frac{\pi}{e^3};\cr \int_0^\infty \frac{x\sin(4x)}{(1 + x^2)^2} dx &= \frac{\pi}{e^4}.\cr }$

Und für etwas ein wenig anderes (und erfundenes, aber ich denke immer noch im Rahmen Ihrer Anforderungen):

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{Tanh (X^{4}) sech (X^{4})}{X} D X & = \frac{G}{π}; \\ \int_{0}^{\infty} \frac{Tanh (X^{7}) {sech}^{2} (X^{7})}{X} D X & = \frac{ζ (3)}{π^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^\infty \frac{\tanh (x^4) \operatorname{sech} (x^4)}{x} dx &= \frac{G}{\pi};\cr \int_0^\infty \frac{\tanh (x^7) \operatorname{sech}^2(x^7)}{x} \, dx &= \frac{\zeta (3)}{\pi^2}. }$

Neptun · Answer 4

Obwohl es einige Fälle gibt, in denen ein Integral "nichttrivial ausschließlich irrational" ist, wie Sie es ausdrücken, könnte bei ausreichender Manipulation gezeigt werden, dass viele von ihnen "verkleidet" sind (Triggerregeln, U-Subs usw.), würde ich Vermutung, dass ein Algorithmus erstellt werden kann, um Integrale zu erzeugen, die einer Zielantwort durch Produktregel, Kettenregel und verschiedene bekannte Identitäten entsprechen, wonach U-sub und Filterung verwendet werden könnten, um Integrale richtig zu erhalten, die mit bloßem Auge als erscheinen "nichttrivial ausschließlich irrational" zu sein.

Auch: $e$ Und $\pi$ sind genauso irrational wie $\frac{e}{2}$ , in der Tat, unser Wissen über die Möglichkeit der Irrationalität $e + \pi$ Und $e\pi$ ist nur etwas mehr als von $4\gamma$ mögliche Irrationalität von , eine Zahl, die nach allem, was wir wissen, selbst ein Vielfaches davon sein könnte $\ln(\zeta(3))$ .

Ich denke, eine ähnliche Frage mit Anforderungen, die etwas weniger willkürlich sind, lautet: Was sind einige Beispiele für irrationale oder transzendente Zahlen, die Perioden oder Zahlen sind, die irrational oder transzendental sind? $\Bbb{Q}[\pi]$ als "Pseudoperioden" (die trigonometrische Funktionen im Integranden und ermöglichen $\pi$ im Grenzbereich)?

Beispiele für nicht-triviale ausschließlich irrationale Integrale?

Robert Lee

Jose Carlos Santos

Azlif

Robert Lee

Zacky

Robert Lee

Zacky

ToniK

Setness Ramesory

Antworten (4)

Quanto

Laxmi Narayan Bhandari

Quanto

Quanto

Laxmi Narayan Bhandari

Quanto

Robert Lee

Robert Lee

Omegadot

Neptun

Geschlossene Form des bestimmten Integrals von 2006 MIT Integration Bee [geschlossen]

Was ist die richtige Formel für die Waschmethode?

Wie löse ich das folgende bestimmte Integral durch partielle Integration?

Auswertung von ∫π20sinx√sinx√+cosx√dx∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\ sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\, \mathrm{d}x

Wie sind diese bestimmten Integrale gleich?

Frage zum Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung (Fläche unter der Kurve)

Über den Hauptsatz der Analysis

Wie löst man dieses Integral in Teilen?

Bestimmtes Integral einer Exponentialfunktion

Bestimmte Integration mit trigonometrischer Substitution