Bestimmtes Integral einer Exponentialfunktion

Question

Bestimmtes Integral einer Exponentialfunktion

Stanley

Ich versuche das folgende bestimmte Integral zu lösen

\int_{0}^{\infty} \exp (- X + \frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}) D X Wo γ > 1 ist ein Parameter .

$\int_{0}^{\infty}\exp\left(-x+\frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right) {\rm d}x \quad\mbox{where}\ \gamma > 1\ \mbox{is a parameter}.$ Meine Ableitung ist

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{- X + \frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}} D X = & - \int_{0}^{\infty} e^{\frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}} D e^{- X} \\ = & - e^{\frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}} \cdot e^{- X} |_{X = 0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{- X} D e^{\frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}} \\ = & \int_{0}^{\infty} X^{- γ} e^{- X + \frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}} D X . \end{aligned}

$\begin{align} \int^\infty_0 e^{-x+\frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}} d x =& - \int^\infty_0 e^{\frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}} d e^{-x} \\ =& - e^{\frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}} \cdot e^{-x} |^\infty_{x=0} + \int^\infty_0 e^{-x} d e^{\frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}} \\ =& \int^\infty_0 x^{-\gamma} e^{-x+\frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}} d x \ . \end{align}$ Ich war hier hängen geblieben. Ist es möglich, eine explizite Lösung für dieses Integral zu finden? Wenn ja, wie kann ich weiter vorgehen? Wie wäre es mit dem Fall

0 < γ < 1

$0 < \gamma < 1$ ?

Mariusz Iwaniuk

Für:

0 < γ < 1

$0<\gamma <1$ Ist:

\sum_{J = 0}^{\infty} \frac{(1 - γ)^{- J} Γ (1 + J (1 - γ))}{Γ (1 + J)}

$\sum _{j=0}^{\infty } \frac{(1-\gamma )^{-j} \Gamma (1+j (1-\gamma ))}{\Gamma (1+j)}$

Stanley

@MariuszIwaniuk. Danke. Wie sind Sie zu diesem Ergebnis gekommen?

Mariusz Iwaniuk

\exp (- X + \frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}) = \exp (- X) \exp (\frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}) = \exp (- X) \sum_{J = 0}^{\infty} \frac{X^{J (1 - γ)} (1 - γ)^{- J}}{J!} = \sum_{J = 0}^{\infty} \frac{\exp (- X) (X^{J (1 - γ)} (1 - γ)^{- J})}{J!}

$\exp \left(-x+\frac{x^{1-\gamma }}{1-\gamma }\right)=\exp (-x) \exp \left(\frac{x^{1-\gamma }}{1-\gamma }\right)=\exp (-x) \sum _{j=0}^{\infty } \frac{x^{j (1-\gamma )} (1-\gamma )^{-j}}{j!}=\sum _{j=0}^{\infty } \frac{\exp (-x) \left(x^{j (1-\gamma )} (1-\gamma )^{-j}\right)}{j!}$ und Sie integrieren den Ausdruck in die Summe.

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Bestimmtes Integral einer Exponentialfunktion

Für: $0<\gamma <1$ Ist: $\sum_{J = 0}^{\infty} \frac{(1 - γ)^{- J} Γ (1 + J (1 - γ))}{Γ (1 + J)}$ $\sum _{j=0}^{\infty } \frac{(1-\gamma )^{-j} \Gamma (1+j (1-\gamma ))}{\Gamma (1+j)}$
@MariuszIwaniuk. Danke. Wie sind Sie zu diesem Ergebnis gekommen?
$\exp (- X + \frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}) = \exp (- X) \exp (\frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}) = \exp (- X) \sum_{J = 0}^{\infty} \frac{X^{J (1 - γ)} (1 - γ)^{- J}}{J!} = \sum_{J = 0}^{\infty} \frac{\exp (- X) (X^{J (1 - γ)} (1 - γ)^{- J})}{J!}$ $\exp \left(-x+\frac{x^{1-\gamma }}{1-\gamma }\right)=\exp (-x) \exp \left(\frac{x^{1-\gamma }}{1-\gamma }\right)=\exp (-x) \sum _{j=0}^{\infty } \frac{x^{j (1-\gamma )} (1-\gamma )^{-j}}{j!}=\sum _{j=0}^{\infty } \frac{\exp (-x) \left(x^{j (1-\gamma )} (1-\gamma )^{-j}\right)}{j!}$ und Sie integrieren den Ausdruck in die Summe.

Claude Leibovici · Answer 1

Diese Frage macht mich jünger (ich brauche sie), da wir in meiner früheren Forschungsgruppe die Integrale für ganzzahlige Werte von untersucht haben $\gamma$ .

{ICH}_{γ} = \int_{0}^{\infty} e^{- X + \frac{X^{1 - γ}}{1 - γ}} D X

$I_\gamma=\int^\infty_0 e^{-x+\frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}} d x$

{ICH}_{2} = 2 K_{1} (2)

$I_2=2 K_1(2)$

{ICH}_{3} = \frac{1}{\sqrt{π}} G_{0, 3}^{3, 0} (\frac{1}{2^{3}} | \begin{matrix} 0, \frac{1}{2}, 1 \end{matrix})

$I_3=\frac{1}{\sqrt{\pi }}G_{0,3}^{3,0}\left(\frac{1}{2^3}| \begin{array}{c} 0,\frac{1}{2},1 \end{array} \right)$

{ICH}_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2 π} G_{0, 4}^{4, 0} (\frac{1}{3^{4}} | \begin{matrix} 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \end{matrix})

$I_4=\frac{\sqrt{3}}{2 \pi }G_{0,4}^{4,0}\left(\frac{1}{3^4}| \begin{array}{c} 0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1 \end{array} \right)$

{ICH}_{5} = \frac{1}{\sqrt{2} π^{3 / 2}} G_{0, 5}^{5, 0} (\frac{1}{4^{5}} | \begin{matrix} 0, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, 1 \end{matrix})

$I_5=\frac{1}{\sqrt{2} \pi ^{3/2}}G_{0,5}^{5,0}\left(\frac{1}{4^5}| \begin{array}{c} 0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},1 \end{array} \right)$

{ICH}_{6} = \frac{\sqrt{5}}{4 π^{2}} G_{0, 6}^{6, 0} (\frac{1}{5^{6}} | \begin{matrix} 0, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 1 \end{matrix})

$I_6=\frac{\sqrt{5}}{4 \pi ^2}G_{0,6}^{6,0}\left(\frac{1}{5^6}| \begin{array}{c} 0,\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},1 \end{array} \right)$ und Sie können einfache Muster in den Meijer G-Funktionen erkennen.

Für die nicht ganzzahligen (aber rationalen) Werte von $\gamma > 1$ , habe ich mit einem CAS überprüft und die Ergebnisse werden immer noch in Form von Meijer G-Funktionen ausgedrückt.

Aus numerischer Sicht gilt für große Werte von $\gamma$ , das Produkt $\gamma I_\gamma$ ist ziemlich nah an der Linearität.

Danke. Ihre Antwort ist sehr hilfreich. Jede Hoffnung, mit einem General fertig zu werden $\gamma$ , die möglicherweise nicht ganzzahlig oder sogar irrational ist?

Bestimmtes Integral einer Exponentialfunktion

Stanley

Mariusz Iwaniuk

Stanley

Mariusz Iwaniuk

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Claude Leibovici

Stanley

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