Bestimmte Integration mit trigonometrischer Substitution

Question

Bestimmte Integration mit trigonometrischer Substitution

Panty

Ich arbeite an einer Frage, die die Verwendung einer trigonometrischen Substitution für ein bestimmtes Integral beinhaltet, das später eine u-Substitution verwenden wird, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich damit fortfahren soll.

\int_{1}^{2} \frac{1}{X^{2} \sqrt{4 X^{2} + 9}} D X

$\int_1^2\frac1{x^2\sqrt{4x^2+9}}dx$

Mein erster Schritt war zu verwenden $\sqrt{a^2+x^2}$ als $x=a\tan\theta$ zu bekommen...

2 X = 3 bräunen θ : X = \frac{3}{2} bräunen θ

$2x=3\tan\theta :x=\frac32\tan\theta$

D X = \frac{3}{2} {Sek}^{2} θ

$dx=\frac32\sec^2\theta$

Ersetzen:

\int \frac{\frac{3}{2} {Sek}^{2} θ}{\frac{9}{4} {bräunen}^{2} θ \sqrt{9 {bräunen}^{2} θ + 9}}

$\int\frac{\frac32\sec^2\theta}{\frac94\tan^2\theta\sqrt{9\tan^2\theta+9}}$

Das Problem hier ist, wie ändere ich das Limit, auf das es geht?

\frac{4}{3} = bräunen θ

$\frac43=\tan\theta$ Und

\frac{2}{3} = bräunen θ

$\frac23=\tan\theta$

Nach der bisherigen Antwort von DR.MV.

\frac{2}{9} \int_{{bräunen}^{-} 1 (\frac{2}{3})}^{{bräunen}^{-} 1 (\frac{4}{3})} \frac{{Sek}^{2} θ}{{bräunen}^{2} θ \sqrt{9 {Sek}^{2} θ}} D θ

$\frac29\int_{\tan^-1(\frac23)}^{\tan^-1(\frac43)}\frac{\sec^2\theta}{\tan^2\theta\sqrt{9\sec^2\theta}}d\theta$

= \frac{2}{9} \int_{{bräunen}^{-} 1 (\frac{2}{3})}^{{bräunen}^{-} 1 (\frac{4}{3})} \frac{Sek θ}{{bräunen}^{2} θ} D θ

$=\frac29\int_{\tan^-1(\frac23)}^{\tan^-1(\frac43)}\frac{\sec\theta}{\tan^2\theta}d\theta$

= \frac{2}{9} \int_{{bräunen}^{-} 1 (\frac{2}{3})}^{{bräunen}^{-} 1 (\frac{4}{3})} \frac{\cos θ}{{Sünde}^{2} θ} D θ

$=\frac29\int_{\tan^-1(\frac23)}^{\tan^-1(\frac43)}\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}d\theta$

Jetzt $u=\sin\theta$ So $du=\cos\theta d\theta$

= \frac{2}{9} \int_{?}^{?} \frac{1}{u^{2}} D u

$=\frac29\int_{?}^{?}\frac{1}{u^2}du$

Hier hänge ich jetzt fest...

lulu

Muss man diese Werte kennen? Vielleicht können Sie einfach mit ihnen als Werte von inversen trigonometrischen Funktionen leben. Schließlich beinhaltet Ihre Antwort wahrscheinlich andere trigonometrische Funktionen, bei denen ausgewertet wird

θ

$\theta$ .

DiegoMath

Kein Problem! Bezeichne mit

θ_{1}

$\theta_1$ Und

θ_{2}

$\theta_2$ der Winkel so, dass

\tan θ_{1} = \frac{4}{3}

$\tan\theta_1=\frac{4}{3}$ Und

\tan θ_{2} = \frac{2}{3}

$\tan\theta_2=\frac{2}{3}$ . Am Ende finden Sie Ausdrücke mit

\tan

$\tan$ Und

\sec

$\sec$ .

Panty

Entschuldigung, könnten Sie das etwas näher erläutern? Meinen Sie damit, dass ich meine Integration fortsetze?

\arctan \frac{2}{3}

$\arctan\frac23$ Zu

\arctan \frac{4}{3}

$\arctan\frac43$

Bernhard

Berechnen Sie das unbestimmte Integral und drücken Sie das Ergebnis in Funktion von aus

\tan θ

$\tan\theta$ .

lulu

@Panthy Ja. Exakt. Wenn Sie den Wert einer trigonometrischen Funktion in einem Winkel kennen, ist es im Allgemeinen ziemlich einfach, den Wert der anderen zu finden.

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Bestimmte Integration mit trigonometrischer Substitution

Muss man diese Werte kennen? Vielleicht können Sie einfach mit ihnen als Werte von inversen trigonometrischen Funktionen leben. Schließlich beinhaltet Ihre Antwort wahrscheinlich andere trigonometrische Funktionen, bei denen ausgewertet wird $\theta$ .
Kein Problem! Bezeichne mit $\theta_1$ Und $\theta_2$ der Winkel so, dass $\tan\theta_1=\frac{4}{3}$ Und $\tan\theta_2=\frac{2}{3}$ . Am Ende finden Sie Ausdrücke mit $\tan$ Und $\sec$ .
Entschuldigung, könnten Sie das etwas näher erläutern? Meinen Sie damit, dass ich meine Integration fortsetze? $\arctan\frac23$ Zu $\arctan\frac43$
Berechnen Sie das unbestimmte Integral und drücken Sie das Ergebnis in Funktion von aus $\tan\theta$ .
@Panthy Ja. Exakt. Wenn Sie den Wert einer trigonometrischen Funktion in einem Winkel kennen, ist es im Allgemeinen ziemlich einfach, den Wert der anderen zu finden.

Markus Viola · Answer 1

Im aktuellen Beitrag hat sich ein Tippfehler eingeschlichen. Nach Durchsetzung der Substitution $2x=3\tan \theta$ , sollte das Integral lauten

\begin{aligned} ICH & = \int_{\arctan (2 / 3)}^{\arctan (4 / 3)} \frac{\frac{3}{2} {Sek}^{2} θ}{\frac{9}{4} {bräunen}^{2} θ \sqrt{9 {bräunen}^{2} θ + 9}} D θ \\ = \frac{2}{9} \int_{\arctan (2 / 3)}^{\arctan (4 / 3)} \frac{{Sek}^{2} θ}{{bräunen}^{2} θ Sek θ} D θ \\ = \frac{2}{9} \int_{\arctan (2 / 3)}^{\arctan (4 / 3)} \frac{{Sek}^{2} θ}{{bräunen}^{2} θ Sek θ} D θ \\ = \frac{2}{9} \int_{\arctan (2 / 3)}^{\arctan (4 / 3)} Kinderbett θ \csc θ D θ \\ = \frac{2}{9} {(- \csc θ) |}_{\arctan (2 / 3)}^{\arctan (4 / 3)} \\ = \frac{\sqrt{13}}{9} - \frac{5}{18} \end{aligned}

$\begin{align}I&=\int_{\arctan(2/3)}^{\arctan(4/3)}\frac{\frac32 \sec^2\theta}{\frac94 \tan^2\theta\sqrt{9\tan^2\theta+9}}d\theta\\\\ &=\frac29 \int_{\arctan(2/3)}^{\arctan(4/3)}\frac{ \sec^2\theta}{ \tan^2\theta\,\sec \theta}d\theta\\\\ &=\frac29 \int_{\arctan(2/3)}^{\arctan(4/3)}\frac{ \sec^2\theta}{ \tan^2\theta\,\sec \theta}d\theta\\\\ &=\frac29 \int_{\arctan(2/3)}^{\arctan(4/3)}\cot \theta \csc \theta d\theta\\\\ &=\frac29 \left.(-\csc \theta)\right|_{\arctan(2/3)}^{\arctan(4/3)}\\\\ &=\frac{\sqrt{13}}{9}-\frac{5}{18}\end{align}$

ANMERKUNGEN:

Bemerkung 1: Bei einer Substitution von Variablen in einem bestimmten Integral ändern sich die Integrationsgrenzen entsprechend. In diesem Beispiel war die Substitution $x=\frac32 \tan \theta$ . Wenn $x=1$ an der unteren Grenze, $\tan \theta =\frac23\implies \theta =\arctan(2/3)$ . Ebenso wann $x=2$ an der oberen Grenze, $\tan \theta =\frac43\implies \theta =\arctan(4/3)$ .

Bemerkung 2:
Zu evaluieren $\sin (\arctan(2/3))$ , erinnern wir uns, dass der Arkustangens ein Winkel ist, dessen Tangens ist $2/3$ . Manchmal erleichtert ein Bild die Analyse, indem wir ein rechtwinkliges Dreieck mit vertikaler Längsseite zeichnen $2$ und horizontale Seite der Länge $3$ einen rechten Winkel bilden.

Beachten Sie, dass der Winkel, den die Hypotenuse mit der horizontalen Seite bildet, ist $\arctan(2/3)$ . Inasmcuh, da die Hypotenuse lang ist $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ , wir sehen $\sin(\arctan(2/3))=\frac{2}{\sqrt{13}}$ und somit $\csc (\arctan(2/3))=\frac{\sqrt{13}}{2}$ .

wird an dieser Stelle fortfahren und Sie auf dem Laufenden halten! Danke
Ich habe meine Antwort aktualisiert, bin aber immer noch verwirrt
OK ... hat die vollständige Lösung zur Unterstützung gepostet. Bitte lassen Sie mich wissen, wie ich die Antwort verbessern kann. Ich möchte Ihnen nur die bestmögliche Antwort geben.
habe ich es falsch gemacht? Ich bin nicht so sicher im Umgang mit csc sec und so, aber so oder so bin ich mir wirklich nicht sicher, wie Sie das bewerten $(-csc\theta)_{arctan(\frac23)}^{arctan(\frac43)}$
Der Arkustangens gibt einen Winkel an, dessen Tangens das Argument ist. Also, wenn ein Winkel einen Tangens von hat $2/3$ dann ist sein Sinus $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ . Ebenso der Sinus eines Winkels, dessen Tangens ist $4/3$ Ist $\sqrt{4^2+3^2}=5$ . Wie kann ich die Antwort noch verbessern?
Gibt es einen Link, zu dem Sie mich mit Bildern oder etwas verweisen können, das dieses Konzept erklärt, das mir eindeutig fehlt ...? Ich verstehe nicht :(
@Panthy Ich habe bearbeitet, um eine Erklärung hinzuzufügen. Bitte lassen Sie mich wissen, wie ich sonst helfen kann.
OK Eine letzte Frage. Ich verstehe, was Sie getan haben, aber wenn ich nicht daran hätte denken können, es in csccot zu konvertieren, gäbe es eine weitere Vereinfachung meiner Antwort, wo ich habe $\frac{1}{u^2}$
Ja. $\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C$ seit für $n\ne 1$ , wir haben $\int X^{N} D X = \frac{X^{N + 1}}{N + 1} + C$ $\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
Ich kenne diesen Teil, aber wäre es einfacher, die Grenzen der Integration dort zu ändern? oder es wäre dasselbe, wie Sie es hier getan haben
Nun, die Grenzen auf $u=\sin \theta$ wäre anders. Wir bemerken von vorher an der unteren Grenze, $u=\sin \theta=\sin \arctan(2/3) =\frac{2}{\sqrt{13}}$ und an der oberen Grenze, $u=\sin \arctan(4/3) =\frac{4}{5}$
Ich denke, es wäre einfacher für Sie, damit ich die Grenzen nicht mehr als einmal ändern muss ...
Ein anderer Weg wäre, anzukommen $-csc \theta$ und auf die ursprüngliche Variable zurückwechseln $x$ (dh, $-\frac29\,\csc \theta =-\frac19\,\frac{\sqrt{4x^2+9}}{2x}$ ) und verwenden Sie die ursprünglichen Grenzwerte weiter $x$ .
ah ha! das war der Weg, den ich gelernt hatte, aber ich wusste nicht, wie ich dorthin gelangen sollte! ^ das brauche ich! Danke!@
Gern geschehen!! Freut mich. Sehr erfreut zu hören, dass Sie es jetzt haben. Gut gemacht!

Bernhard · Answer 2

\begin{aligned} \int \frac{\frac{3}{2} {Sek}^{2} θ D θ}{\frac{9}{4} {bräunen}^{2} θ \sqrt{9 {bräunen}^{2} θ + 9}} & = \frac{2}{9} \int \frac{D θ}{{Sünde}^{2} θ \sqrt{1 + {bräunen}^{2} θ}} = \frac{2}{9} \int \frac{| \cos θ | D θ}{{Sünde}^{2} θ} \\ = \frac{2}{9} \int \frac{\cos θ D θ}{{Sünde}^{2} θ} seit 0 \leq θ < \frac{π}{2} \\ = - \frac{2}{9 Sünde θ} \end{aligned}

$\begin{align*}\int\frac{\frac32\sec^2\theta\,\mathrm d\mkern1.5mu\theta}{\frac94\tan^2\theta\sqrt{9\tan^2\theta+9}}&=\frac29\int\frac{\mathrm d\mkern1.5mu\theta}{\sin^2\theta\sqrt{1+\tan^2\theta}}=\frac29\int\frac{\lvert\cos\theta\rvert\,\mathrm d\mkern1.5mu\theta}{\sin^2\theta}\\[1ex] &=\frac29\int\frac{\cos\theta\,\mathrm d\mkern1.5mu\theta}{\sin^2\theta}\qquad\text{since}\enspace 0\le\theta<\dfrac\pi2\\[1ex] &=-\frac2{9\sin\theta} \end{align*}$ Mit etwas Trigonometrie können Sie die Grenzen für bestimmen

\sin θ

$\sin\theta\;$ aus den Grenzen für

\tan θ

$\tan\theta$ : seit

0 \leq θ < \frac{π}{2}

$0\le\theta<\dfrac\pi2$ , wir haben:

\cos θ = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} θ}}

$\cos\theta=\dfrac1{\sqrt{1+\tan^2\theta}}$ , somit

Sünde θ = bräunen θ \cos θ = \frac{bräunen θ}{\sqrt{1 + {bräunen}^{2} θ}} = \frac{\frac{2 X}{3}}{\sqrt{1 + \frac{4 X^{2}}{9}}} = \frac{2 X}{\sqrt{4 X^{2} + 9}}

$\sin\theta=\tan\theta\cos\theta=\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}=\frac{\cfrac{2x}3}{\sqrt{1+\cfrac{4x^2}9}}=\frac{2x}{\sqrt{4x^2+9}}$ so dass das unbestimmte Integral ist:

- \frac{\sqrt{4 X^{2} + 9}}{9 X} .

$-\frac{\sqrt{4x^2+9}}{9x}.$

Es scheint ein Unterlassungsfehler vorzuliegen. Der Term der Sekantenquadrate ist im zweiten Integral verschwunden.
OK. Ja. Aber dem Integranden fehlt der Begriff im Nenner, nämlich $x^2=\frac94 \tan^2 \theta$ .
Übrigens war ich nicht der Niederwähler. Tatsächlich stimme ich sehr, sehr selten ab. Vielmehr neutralisiere ich gern negative Stimmen, indem ich eine positive Stimme gebe.
Es war eine allgemeine Frage, die nicht speziell an Sie gerichtet war. Ich stimme auch sehr selten ab. Ich bevorzuge Kommentare, die zur Verbesserung der Antwort beitragen, wenn dies möglich ist.
@Panthy; War es im ursprünglichen Beitrag oder wurde es hinzugefügt?
@Bernard Freut mich das zu hören. Ich verabscheue das schießwütige Down-Voting!
Es war ein Typ, auf den Dr.MV in seinem Beitrag hingewiesen hat, also habe ich ihn später geändert ...
@Panthy: Ich habe meine Antwort aktualisiert, was einfacher ist (aber das Ende der ersten Antwort ist ein Muss .
Ja, dieser folgt meiner Antwort, aber die Verwirrung ist jetzt von hier aus zu konvertieren $\theta$ zu x :P
Sie müssen nicht umwandeln $x$ es sei denn, Sie wollen das unbestimmte Integral.
Nun, das löst das Problem nicht wirklich, weil das ursprüngliche Problem darin bestand, es von 1 nach 2 zu integrieren, oder?

John_dydx · Answer 3

\int_{1}^{2} \frac{1}{X^{2} \sqrt{4 X^{2} + 9}} D X = \int_{A}^{B} \frac{\frac{2}{3} {Sek}^{2} θ}{\frac{9}{4} {bräunen}^{2} θ \sqrt{9 {bräunen}^{2} θ + 9}} D θ

$\int_1^2\frac1{x^2\sqrt{4x^2+9}}dx = \int_a^b\frac{\frac{2}{3}\sec^2\theta}{\frac{9}{4}\tan^2\theta\sqrt{9\tan^2\theta+9}}d\theta$

Wo $a = \tan^{-1}\frac{2}{3}$ Und $b = \tan^{-1}\frac{4}{3}$

\int_{A}^{B} \frac{2 Sek θ}{9 {bräunen}^{2} θ} D θ = {(- \frac{2 cosec θ}{9})}_{A}^{B}

$\int_a^b\frac{2\sec\theta}{9\tan^2\theta}d\theta = \left(-\frac{2\text{cosec}\theta}{9} \right)_a^b$

Hinweis: $\text{cosec}\left(\tan^{-1}\frac{4}{3}\right) = \frac{5}{4}$ , $\text{cosec}\left(\tan^{-1}\frac{2}{3}\right) = \frac{\sqrt{13}}{2}$

EDIT: let $\tan^{-1}\frac{4}{3}=d$

\frac{4}{3} = bräunen D

$\frac{4}{3} = \tan d$

\frac{4}{3} = \frac{Sünde D}{\cos D}

$\frac{4}{3} = \frac{\sin d}{\cos d}$

\frac{1}{Sünde D} = cosec D = \frac{3}{4} Sek D

$\frac{1}{\sin d} = \text{cosec}\ d = \frac{3}{4}\sec d$

{Sek}^{2} D = {bräunen}^{2} D + 1 = 1 + {(\frac{4}{3})}^{2} = \frac{25}{9}

$\sec^2d = \tan^2 d + 1 = 1+ \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$

Sek D = \frac{5}{3}

$\sec d =\frac{5}{3}$

cosec D = \frac{3}{4} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{4}

$\text{cosec}\ d = \frac{3}{4}\times \frac{5}{3} =\frac{5}{4}$

Dasselbe kannst du mit dem zweiten machen.

Könnten Sie bitte näher darauf eingehen, dass ich neu in so etwas bin ... Entschuldigung, wenn ich mich dumm anhöre

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