Über den Hauptsatz der Analysis

Ich bin in einem Beweis auf die folgende Gleichung gestoßen:

j ( T ) = ∫ − π T ( T − S ) j ( S ) D S + ∫ T π ( S − T ) j ( S ) D S , Wo S , T ∈ [ − π , π ] Und j ist integrierbar auf [ − π , π ] .

Dann wollen sie die Ableitung der obigen Gleichung nehmen und sagen einfach, dass das Ergebnis ist:

j ' ( T ) = ∫ − π T j ( S ) D S − ∫ T π j ( S ) D S

Ich kann nicht verstehen - warum ist das das Ergebnis? Ich weiß, dass hier der Hauptsatz der Analysis verwendet wurde (der besagt, dass wenn F ( X ) = ∫ A X F ( X ) D X Dann F ' ( X 0 ) = F ( X 0 ) ∀ X 0 ), und ich bin mir nicht sicher, wie es in diesem Fall wo verwendet wird T ist der niedrigere Wert in einigen der Integrale?

BEARBEITEN Nach den Kommentaren habe ich versucht, es zu berechnen, obwohl ich das wusste ∫ A B = − ∫ B A :

∫ − π T ( T − S ) j ( S ) D S + ∫ T π ( S − T ) j ( S ) D S = T ∫ − π T j ( S ) D S − ∫ − π T S j ( S ) D S − T ∫ π T j ( S ) D S + ∫ π T S j ( S ) D S .

Wenn ich also die Ableitung dieser Gleichung unter Verwendung des Fundamentalsatzes (für allgemein T ), Ich werde bekommen : T j ( T ) − T j ( T ) − T j ( T ) + T j ( T ) = 0 . Wo ist mein Fehler? Was habe ich verpasst?

Wenn es klarer wird, erinnern Sie sich daran ∫ A B F ( X ) D X = − ∫ B A F ( X ) D X
@lulu Aber es würde sich nur ändern ∫ T π Zu ∫ P ich T , nicht wahr? (Und was bedeutet es, das zu wissen − π ≤ T ≤ π ?)
Dies kann als Sonderfall der Leibniz-Integralregel angesehen werden (die eine leichte Verallgemeinerung von FTC ist): en.wikipedia.org/wiki/…
Ja, es würde sich ändern − ∫ π T , und das erklärt das Negative, wenn Sie differenzieren. (Man kann es sich auch geometrisch überlegen: Wenn F > 0 , zum Beispiel die Funktion ∫ T B F ( u ) D u sinkt als T erhöht sich.)
@TedShifrin Ich habe es versucht und bin dennoch nicht zum richtigen Ergebnis gekommen

Antworten (1)

Denn es gibt auch eine Funktion von T Innerhalb des Integrals haben Sie zwei Teile zur Differenzierung. Wie @peek-a-boo kommentierte, folgt das Ergebnis aus der Leibniz-Regel, aber wir können es hier direkt mit der Produktregel machen.

Wenn F ( T ) = ∫ A T ( T − S ) j ( S ) D S , dann beachte das

F ( T ) = T ∫ A T j ( S ) D S − ∫ A T S j ( S ) D S .
Unter zweimaliger Anwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Produktregel auf den ersten Term erhalten wir
F ' ( T ) = ∫ A T j ( S ) D S + T j ( T ) − T j ( T ) = ∫ A T j ( S ) D S .
Der andere Term ist ähnlich und kehrt die Grenzen des bestimmten Integrals um, wie ich bereits betont habe.

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