Eigenwerte und Eigenvektoren Diagonalisierung

Lassen$A=\begin{bmatrix} -7 & -1 \\ 12 & 0 \\ \end{bmatrix}$. Finden Sie eine Matrix$P$und eine Diagonalmatrix$D$so dass$PDP^{-1} = A$.

Ok, das erste, wonach ich suchen muss, sind meine Eigenwerte und Eigenvektoren. Ich denke jedoch, dass ich es falsch mache und anscheinend nicht die richtigen Eigenvektoren bekomme.

Wenn$det(A-\lambda I)X=0$Dann$det(\begin{bmatrix} -7-\lambda & -1 \\ 12 & -\lambda \\ \end{bmatrix})= \lambda^2+7\lambda+12=0$

Dadurch erhalte ich Eigenwerte$\lambda_1=-3$Und$\lambda_2 = -4$

Fall:$\lambda_1 = -3$

$\begin{bmatrix} -7-(-3) & -1 \\ 12 & -(-3) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 12 & 3 \\ \end{bmatrix}$und am Ende mit Eigenvektor$\begin{bmatrix} -1/4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

Aber das ist falsch und ich bin mir nicht sicher, wo ich den Fehler gemacht habe oder ob mein gesamtes Verfahren ausgeschaltet ist. Also habe ich hier aufgehört.