Spektralradius eines vollständigen zweigeteilten Graphen

Question

Spektralradius eines vollständigen zweigeteilten Graphen

Matrizen
Mathematik
Spektralradius
Adjazenzmatrix
Spektralgraphentheorie
Eigenwerte-Eigenvektoren

Sal

Lassen $p, q > 0$ ganze Zahlen sein und lassen $K_{p,q}$ ein vollständiger bipartiter Graph sein. Lassen $A(K)$ die Adjazenzmatrix von bezeichnen $K_{p,q}$ nach einer bequemen Bezeichnung von Scheitelpunkten, die die ist $2 \times 2$ Blockmatrix

[\begin{matrix} 0_{P \times P} & 1_{P \times Q} \\ 1_{Q \times P} & 0_{Q \times Q} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 0_{p \times p} & 1_{p \times q}\\ 1_{q \times p} & 0_{q \times q} \end{bmatrix}$

Ich weiß, dass der Spektralradius von $A(K)$ Ist $\sqrt{pq}$ konnte es aber nicht beweisen. Ich habe versucht, die Determinante des charakteristischen Polynoms zu finden, um das Spektrum zu finden, konnte es aber auch nicht. Jede Hilfe wäre willkommen.

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Spektralradius eines vollständigen zweigeteilten Graphen

SchwächsteTopologie · Answer 1

Der Spektralradius von $A(K)$ die Quadratwurzel des Spektralradius von ist $A(K)^2$ . Beachten Sie, dass

A (K)^{2} = (\begin{matrix} Q 1_{P \times P} & 0 \\ 0 & P 1_{Q \times Q} \end{matrix}) .

$A(K)^2 = \begin{pmatrix} q\mathbf{1}_{p \times p} & 0\\ 0 & p\mathbf{1}_{q \times q} \end{pmatrix}.$ Somit

det (X ICH - A (K)^{2}) = det (X ICH - Q 1_{P \times P}) det (X ICH - P 1_{Q \times Q}) = (X - P Q)^{2} X^{P + Q - 2} .

$\det(xI - A(K)^2) = \det(xI - q\mathbf{1}_{p \times p})\det(xI - p\mathbf{1}_{q \times q}) = (x - pq)^2x^{p + q - 2}.$

Entschuldigung, aber wie fanden Sie $\det(xI - q\mathbf{1}_{p \times p})$ ?
$pq$ ist eindeutig ein Eigenwert von $q\mathbf{1}_{p \times p}$ (nehmen $\mathbf{1}_{p \times 1}$ als Eigenvektor) und diese Matrix hat Rang 1, also $0$ ist ein Eigenwert mit Multiplizität $p - 1$ , was das impliziert $pq$ hat eine Vielzahl $1$ und es kann keine anderen Eigenwerte geben.
Man könnte das Matrix-Determinanten-Lemma verwenden , um das charakteristische Polynom jedes Blocks zu berechnen.

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Sal

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