Normungleichheit einer positiv definiten Matrix

Beweise das

A T A 2 A A T A A ≤ “ A “
Wo A ist ein N × N symmetrische positive definite Matrix und A ∈ R N ∖ { 0 N } .

Die Norm eines Vektors ist hier die euklidische Norm und Norm einer Matrix A Ist

“ A “ = max { “ A X “ : “ X “ = 1 }
und wenn A ist dann symmetrisch
“ A “ = max { | X T A X | : “ X “ = 1 }
und auch gleich dem größten Eigenwert von A .

Aus diesem Min-Max-Theorem haben wir das

λ Mindest “ X “ 2 ≤ X T H X ≤ λ max “ X “ 2

Wo λ Mindest , λ max sind die kleinsten und größten Eigenwerte der Hermiteschen Matrix H . Also haben wir

A T A 2 A A T A A ≤ λ max 2 λ Mindest

Um die Ungleichung in der Frage zu beweisen, müssen wir das zeigen λ M A X 2 λ Mindest ≤ λ max was impliziert λ max λ Mindest ≤ 1 . Wir haben “ A “ = λ max Und “ A − 1 “ = 1 λ Mindest aber im Gegenteil, es ist eine Tatsache, dass “ A “ “ A − 1 “ ≥ 1 . Wo habe ich einen Fehler gemacht und wie beweisen wir diese Ungleichung?

Ich denke, Ihr Problem liegt darin, dass Sie die maximalen und minimalen Eigenwerte nicht berücksichtigen sollten, da der Vektor a im Nenner und Nenner gleich ist. Ich werde die vollständige Lösung in einer Sekunde aufschreiben
Du sagst also, dass ich mich mit der Einnahme überschätzt habe λ M A X 2 λ M ich N Rechts?
das ist in der Tat, was ich sage

Antworten (2)

Seit A symmetrisch und positiv definit ist, hat es eine symmetrische und positiv definite Quadratwurzel A 1 2 Und λ max ( A ) = “ A “ 2 , dh der Spektralradius ist gleich der Spektralnorm. Lassen v := A 1 2 u . Somit,

u ⊤ A 2 u u ⊤ A u = u ⊤ A 1 2 A A 1 2 u u ⊤ A 1 2 A 1 2 u = v ⊤ A v v ⊤ v ≤ λ max ( A ) = “ A “ 2

Wir brauchen tatsächlich u T A 2 u u T A u ≤ “ A “ . Wir wissen daher , dass es eine symmetrische, positive, bestimmte Quadratwurzel von gibt A , sag, was ist R Hier. Dann haben wir “ R T v “ 2 “ v “ 2 ≤ “ R T “ 2 = “ A “ .
Ich kann nicht ganz folgen. Wir brauchen “ A “ entsprechend dem Problem, also in Ihrem Beweis, den wir erhalten müssen “ A “ als Obergrenze.
Ja, obwohl die λ Teil ist unnötig, weil wir für Matrix haben A und Vektor v , “ A v “ ≤ “ A “ “ v “ . Also haben wir direkt “ A 1 / 2 v “ 2 “ v “ 2 ≤ “ A 1 / 2 “ 2 = “ A “ .
Ich denke, es ist jetzt richtig. Der Beweis wird immer kürzer.
Wir haben v T A v v T v ≤ “ A “ direkt aus der Definition für die Norm einer symmetrischen Matrix. Weil v T A v v T v = v T A v “ v “ 2 = v T “ v “ A v “ v “ ≤ “ A “ .
Ja, das Kürzeste und Schönste ist das Beste, finden Sie nicht? Vielen Dank für Ihre Antwort.
Wie kommst du auf diese Ungleichheit? Man könnte auch die SVD von verwenden A zu schließen, dass der Spektralradius und die Spektralnorm gleich sind.
Ich weiß noch nichts über Spektralradius und Spektralnorm, aber v T “ v “ A v “ v “ ist von der Form X T A X Wo “ X “ = 1 , Und “ A “ ist das Maximum von diesen.
Ich mag den Beweis so wie er ist, weil der letzte Schritt aus der Tatsache folgt, dass A ist symmetrisch und positiv definit.

Lassen A = X Λ X − 1 sei die Eigenwertzerlegung für die Matrix, sollte diese für eine positiv definite Matrix immer existieren. Auch, A = μ 1 v 1 + . . . bezeichnet die Zerlegung von a in die Eigenvektoren von A .

Dann A T A 2 A A T A A = ∑ μ ich 2 λ ich 2 ∑ μ ich 2 λ ich .

Durch die Berechnung der Ableitung stellen wir fest, dass kritische Punkte nur einen zulassen μ ich ungleich Null sein. Dies beweist das A sollte ein Eigenvektor sein.

Sollen A ein Eigenvektor mit Eigenwert sein λ ich , ∑ μ ich 2 λ ich 2 ∑ μ ich 2 λ ich reduziert zu λ ich was kleiner als die Norm ist A .

Danke. Ist es möglich, eine Antwort zu geben, die keine Ableitung erfordert?
Mir fällt nichts ein, was kein Derivat erfordern würde. Vielleicht eine Theorie zu rationalen Funktionen. Nicht mein Fachgebiet
Normungleichheit einer positiv definiten Matrix
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v