Beziehung zwischen den maximalen Eigenwerten der symmetrisch positiv definiten Matrix AAA und BAB†BAB†BAB^\dagger

Vermuten A ist eine symmetrische positiv definite Matrix von N × N Maße. Matrix B ∈ R M × N ist eine reellwertige Matrix mit vollem Rang M streng kleiner als N , dh, M < N .

Durch Monte-Carlo-Experimente ist mir das aufgefallen

λ max ( A ) ≥ λ max ( B A B † ) ,
Wo λ max ( ⋅ ) bezeichnet den maximalen Eigenwert des Arguments. Außerdem Matrix B † steht für das Pseudo-Umgekehrte von B , dh, B † = B T ( B B T ) − 1 .

Ich frage mich, woher diese Ungleichheit kommt.

Zur weiteren Veranschaulichung kann man den folgenden kurzen Code in Matlab ausführen.

n=30; 
m=29;
c=0;

for i=1:1000;

  Q = randn(n,n);
  eigen_mean = 0.1; %can be made anything, 
   A = Q' * diag(abs(eigen_mean+randn(n,1))) * Q;  %A random symmetric positive definite   
   B=randn*randn(m,n);

      if max(eig(A))< max(eig(B * A * pinv(B)))
                 c = c +1 ;
      end
end

c

Jedes Mal C wird null zurückgegeben, da λ max ( A ) ist anscheinend nie kleiner als λ max ( B A B † ) .

Was ist B † ? Ist auch symmetrisch durch positiv definit impliziert?
Wie oben erwähnt, B † ist die Pseudo-Inverse von Matrix B . Abgesehen davon, dass Matrix positiv definit ist A ist auch symmetrisch. Ich habe die Frage bearbeitet. Danke schön.
Beachten Sie, dass diese Formel für die Pseudo-Inverse nur gilt, wenn B ist voller Rang.
Danke noch einmal. Matrix B ist in meiner Bewerbung garantiert voll im Ranking, was ich vergessen habe zu erwähnen. Bearbeitet!

Antworten (1)

Lassen C = B A B + = B A B T ( B B T ) − 1 . Beachten Sie, dass B A B T Und ( B B T ) − 1 Sind M × M symmetrisch > 0 Matrizen und damit ihr Produkt C ist diagonalisierbar und hat nur > 0 Eigenwerte.

Etwas präziser, C ist dem Folgenden ähnlich > 0 symmetrische mtrix

S = ( B B T ) − 1 / 2 B A B T ( B B T ) − 1 / 2 = [ ( B B T ) − 1 / 2 B ] A [ ( B B T ) − 1 / 2 B ] T .

Für jeden Vektor X ∈ R M , X T S X = j T A j Wo j = [ ( B B T ) − 1 / 2 B ] T X .

Dann X T S X ≤ ρ ( A ) | | j | | 2 Wo | | j | | 2 = X T ( B B T ) − 1 / 2 B B T ( B B T ) − 1 / 2 X = | | X | | 2 und wir sind fertig.

Nur um es lesbarer zu machen, S = X − 1 [ B A B T ( B B T ) − 1 ] X mit X = ( B B T ) 1 / 2 . Gute Antwort! +1
Was für eine schöne Lösung! Vielen Dank
Danke für die obigen Komplimente.
Beziehung zwischen den maximalen Eigenwerten der symmetrisch positiv definiten Matrix AAA und BAB†BAB†BAB^\dagger
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v