Eine Abfrage der Eigenwerte der Anti-Involutionsmatrix

Question

Eine Abfrage der Eigenwerte der Anti-Involutionsmatrix

Matrizen
Involutionen
Mathematik
Lineare Algebra
Eigenwerte-Eigenvektoren

Dr Sundar

Eine Involutionsmatrix $A$ wird durch die Bedingung definiert

\begin{matrix} (1) & A^{2} = ICH \end{matrix}

$A^2 = I \tag{1}$

Die Eigenwerte einer Involutionsmatrix $A$ sind die Wurzeln der Einheit.

Verallgemeinerung, ein $m$ -Involutionsmatrix $A$ wird durch die Bedingung definiert

\begin{matrix} (2) & A^{M} = ICH \end{matrix}

$A^m = I \tag{2}$

Die Eigenwerte von an $m$ -Involutionsmatrix $A$ sind die $m$ te Wurzeln der Einheit.

In ähnlicher Weise eine Anti-Involutions-Matrix $A$ kann definiert werden als

A^{2} = - ICH

$A^2 = - I$

(Ich hoffe, dass dies die Standarddefinition ist)

Ein Beispiel für eine Anti-Involutions-Matrix ist

A = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}]

$A = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

Die Eigenwerte der obigen Matrix $A$ Sind: $\pm j$ .

Die charakteristische Gleichung dieser $2 \times 2$ Matrix $A$ Ist

λ^{2} + 1 = 0

$\lambda^2 + 1 = 0$

Ist es möglich zu zeigen, dass die Eigenwerte einer Anti-Involutionsmatrix die Quadratwurzeln von sind $-1$ ?

In ähnlicher Weise definieren wir die Anti-m-Involutionsmatrix $A$ als

A^{M} = - ICH,

$A^m = - I,$ können wir zeigen, dass seine Eigenwerte die sind

m

$m$ te Wurzeln von

- 1

$-1$ ?

Ich frage nicht nach den Eigenvektoren von Anti-Involutionsmatrizen, da mir keine Ergebnisse für die Eigenvektoren von Involutionsmatrizen bekannt sind. Bitte helfen Sie mir bei ihren Eigenwerten. Danke schön.

Antworten (2)

Eine Abfrage der Eigenwerte der Anti-Involutionsmatrix

Fred · Answer 1

Lassen $A^m = - I$ und lass $\lambda$ ein Eigenwert von sein $A$ . Nach dem Spektralabbildungssatz gilt $\lambda^m$ ist ein Eigenwert von $A^m$ , somit $\lambda^m$ ist ein Eigenwert von $-I$ . Das gibt $\lambda^m=-1.$

Dr Sundar · Answer 2

Lassen $(\lambda, \mathbf{x})$ ein Eigenpaar für eine Anti-Involutionsmatrix sein $A$ .

Per Definition, $A$ erfüllt $A^2 = -I$ .

Per Definition das Eigenpaar $(\lambda, \mathbf{x})$ erfüllt

A X = λ X, Wo X \neq 0.

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}, \ \ \mbox{where} \ \mathbf{x} \neq 0.$

Seit $A^2 = - I$ , es folgt dem $A^{-1} = - A$ .

Beachten Sie, dass

\begin{matrix} (1) & A X = λ X ⟺ A^{- 1} [A X] = A^{- 1} [λ X] ⟺ ICH X = λ (- A X) \end{matrix}

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff A^{-1} [A \mathbf{x}] = A^{-1} [\lambda \mathbf{x}] \iff I \mathbf{x} = \lambda (- A \mathbf{x}) \tag{1}$

Vereinfachend (1) schließen wir darauf

A X = λ X ⟺ X = - λ (A X) = - λ (λ X) ⟺ (1 + λ^{2}) X = 0 ⟺ λ^{2} + 1 = 0

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff \mathbf{x} = - \lambda (A \mathbf{x}) = - \lambda (\lambda \mathbf{x}) \iff (1 + \lambda^2) \mathbf{x} = 0 \iff \lambda^2 + 1 = 0$

Also wenn $\lambda$ irgendein Eigenwert von ist $A$ , dann ist es erfüllt $\lambda^2 + 1 = 0$ .

Daher die Eigenwerte einer Anti-Involutionsmatrix $A$ sind die Quadratwurzeln von $-1$ .

Der obige Beweis lässt sich leicht auf den allgemeinen Fall einer Anti- $m$ -Involutionsmatrix.

Wir können das zeigen, wenn $\lambda$ ist ein Eigenwert eines Anti $-m$ -Involutionsmatrix, dann erfüllt sie $\lambda^m + 1 = 0$ .

Ich gebe einen Beweisentwurf für das Anti $-m$ -Involutionsmatrix.

Nehme an, dass $(\lambda, \mathbf{x})$ ist ein Eigenpaar von $A$ .

Seit $A^m = - I$ , es folgt dem $A^{-1} = - A^{m - 1}$ .

Somit haben wir

\begin{matrix} (2) & A X = λ X ⟺ A^{- 1} [A X] = A^{- 1} [λ X] ⟺ ICH X = λ (- A^{M - 1} X) \end{matrix}

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff A^{-1} [A \mathbf{x}] = A^{-1} [\lambda \mathbf{x}] \iff I \mathbf{x} = \lambda (- A^{m - 1} \mathbf{x}) \tag{2}$

Vereinfachend (2) schließen wir darauf

A X = λ X ⟺ X = - λ (λ^{M - 1} X) = - λ^{M} X ⟺ (1 + λ^{M}) X = 0 ⟺ λ^{M} + 1 = 0

$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \iff \mathbf{x} = - \lambda (\lambda^{m - 1} \mathbf{x}) = - \lambda^m \mathbf{x} \iff (1 + \lambda^m) \mathbf{x} = 0 \iff \lambda^m+ 1 = 0$

Also wenn $\lambda$ ist irgendein Eigenwert eines Anti- $m$ -Involutionsmatrix $A$ , dann ist es erfüllt $\lambda^m + 1 = 0$ .

Daher die Eigenwerte einer Anti-Involutionsmatrix $A$ sind die $m$ Ordnung Wurzeln von $-1$ .

Eine Abfrage der Eigenwerte der Anti-Involutionsmatrix

Dr Sundar

Antworten (2)

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Dr Sundar

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