Transponierte Matrix und das Produkt AA⊤AA⊤AA^\top

In Bezug auf die Transponierung: Zunächst eine Einschränkung: In der Praxis wird die Transponierung selten auf "geometrische" Weise betrachtet. Stattdessen betrachten wir es in Bezug auf seine definierende Eigenschaft, das heißt für alle Vektoren$x$Und$y$der richtigen Größe, das Skalarprodukt$(Ax)^Ty$ist das gleiche wie$x^T(A^Ty)$. Äquivalent, wenn wir das Mapping umwandeln$x^T \mapsto x^TA$auf Zeilenvektoren in eine Karte auf Spaltenvektoren, haben wir am Ende die Karte$x \mapsto Ax$. Abstrakter könnten wir uns die Transponierte in Bezug auf ihre Beziehung zur Adjungierten auf dem dualen Raum vorstellen , der mit der linearen Abbildung verbunden ist$T: V \to W$. Mit anderen Worten, die Intuition für die Transponierung kommt in der Regel nicht davon, "wie die Transformation aussieht", sondern davon, "wie die Transformation mit anderen Dingen (dh Vektoren, Covektoren und anderen Transformationen) zusammenpasst".

Abgesehen davon: Wenn Sie nach einer geometrischen Vorstellung davon suchen, was die Transponierung tut, erreichen Sie dies am besten durch die polare Zerlegung (Hinweis: Der verlinkte Artikel befasst sich mit Matrizen mit komplexen Einträgen, aber ich werde mich auf Matrizen mit konzentrieren echte Einträge). Jede Transformation kann in die Form geschrieben werden$A = PU$, Wo$P$ist eine positive semidefinite Matrix, und$U$ist eine orthogonale Matrix . Das ist,$A$kann in eine Drehung/Spiegelung zerlegt werden (kodiert durch$U$), gefolgt von einem Dehnen/Squish entlang senkrechter Achsen (kodiert durch$P$). Die Transponierung ist gegeben durch

Hinsichtlich$AA^T$: Wie sich herausstellt, die Matrix$P$aus der polaren Zersetzung$A = PU$oben diskutiert wird durch gegeben$P = \sqrt{AA^T}$. Darüber hinaus,$AA^T$ist selbst eine positiv semidefinite Matrix. Was wir für die geometrische Idee dahinter sagen könnten$AA^T$, dann ist das. Was wir aus all dem herausbekommen, ist das$A^TA$kodiert all das, was gestreckt/gequetscht wird$A$tut.