Zeige, dass es einen Unterraum W⊆CnW⊆CnW\subseteq\mathbb{C}^{n} der Dimension 111 gibt, so dass jede Jordan-Basis von CnCn\mathbb{C}^{n} einen Generator von WWW enthält

Für Teil 1.

Wir wissen, dass es eine ganze Zahl gibt$m \geq 1$so dass$ker f^{m+1} = \mathbb{C}^n$, Aber$ker f^m \neq \mathbb{C}^n$Und$dim(ker f^m) + 1 = dim(ker f^{m + 1})$.

So kann es gezeigt werden$ker f \subsetneq ker f^2 \subsetneq \dots \subsetneq ker f^m \subsetneq ker f^{m+1} = \mathbb{C}^n$Wo$\subsetneq$bedeutet "strikte Inklusion", um genau zu sein.

Durch das oben,$\exists v,$ $v \in \mathbb{C}^n$st$v \notin ker f^m$. Ansonsten,$ker f^m = ker f^{m+1}$

Betrachten Sie linear unabhängig,$v, u_1, \dots u_j$, so dass$j + 1 = dim(ker f)$, und alles$u_1, \dots, u_j \in ker f^m$.

So dass$f^m v, \dots, fv, v, f^{s_1} u_1, \dots, f u_1, u_1, \dots, f^{s_j}u_j, \dots f u_j, u_j$ist eine jordanische Basis für$\mathbb{C}^n$.

• Das Teil$j+1 = dim(ker f)$ist wichtig, weil für jede jordanische Basis$f^{k_0} w_0, \dots, fw_0, w_0, f^{k_1} w_1, \dots, f w_1, w_1 \dots f^{k_j}w_j, \dots f w_j, w_j$($f^{k_i + 1}w_i = 0$), Die Liste$f^{k_0}w_0, \dots, f^{k_j}w_j$ist eine Grundlage für$ker f$. Also für jede jordanische Basis die Anzahl der$k_i$'s ist auf die Dimension von festgelegt$ker f$. Andernfalls ist es keine Grundlage für$\mathbb{C}^n$

Seit$v \notin ker f^m$, wir kennen alle Stützpunkte Jordaniens$\mathbb{C}^n$für$f$muss mindestens eine enthalten$v$, so dass$v \notin ker f^m$, ($ker f^m \neq \mathbb{C}^n$). Seitdem kennen wir mindestens einen$dim(ker f^m) + 1 = dim(ker f^{m+1})$.

Beheb das$v$, und das$u_i$ist oben. Vermuten$\exists v_2 \notin ker f^m, v_2 \neq v$Und$v_2,u_1, \dots, u_j$ist linear unabhängig.

So dass$f^m v_2, \dots, fv_2, v_2, f^{s_1} u_1, \dots, f u_1, u_1, \dots f^{s_j}u_j, \dots f u_j, u_j$

ist eine jordanische Basis von$\mathbb{C}^n$für$f$.

Betrachten Sie nun einen Vektor$w \notin ker f^m$und seine lineare Ausdehnung über beide Basen.

$w = \lambda_{0,1} f^m v + \dots + \lambda_{0,(m-1)}fv + \lambda_{0,m}v + \lambda_{1,1} f^{s_1} u_1 + \dots + \lambda_{1,s_1-1}f u_1 + \lambda_{1,(s_1 -1)}u_1 + \dots + \lambda_{j,1}f^{s_j}u_j + \dots + \lambda_{j, (s_j -1)}f u_j + \lambda_{j, s_j}u_j$

$=$

$\eta_{0,1} f^m v_2 + \dots + \eta_{0,(m-1)}fv_2 + \eta_{0,m}v_2 + \eta_{1,1} f^{s_1} u_1 + \dots + \eta_{1,s_1-1}f u_1 + \eta_{1,(s_1 -1)}u_1 + \dots + \eta_{j,1}f^{s_j}u_j + \dots + \eta_{j, (s_j -1)}f u_j + \eta_{j, s_j}u_j$

Der$\lambda_{i,j}, \eta_{i,j} \in \mathbb{C}$

Bewirbt sich$f^m$zu beiden Seiten beider Gleichheiten erhalten wir$f^m w = \lambda_{0,m}f^mv = \eta_{0,m} f^m v_2$Und$f^m w \neq 0 \implies \lambda_{0,m},\eta_{0,m} \neq 0$

So$(\lambda_{0,m}/ \eta_{0,m})f^mv =f^m v_2$. Lassen$W = span(f^mv)$.

Seit$v_2$ist willkürlich, ein skalares Vielfaches von$f^m v$ist in jedem Jordan Basis$\mathbb{C}^n$für$f$.$\Box$