Vektorkomponenten-Transformationsmatrix in Shilovs linearer Algebra

Question

Vektorkomponenten-Transformationsmatrix in Shilovs linearer Algebra

Matrizen
Mathematik
Vektorräume
Lineare Algebra
Basiswechsel

Raman Aliakseyeu

Ich arbeite mich durch Georgi Shilovs Lineare Algebra und habe Probleme, die Definition der Vektorkomponenten-Transformationsmatrix zu verstehen, die er in Abschnitt 5.31 gibt. Ich werde diese Definition weiter unten beschreiben.

Lassen $e_1, e_2, \dots, e_n$ Und $f_1, f_2, \dots, f_n$ zwei Basen in einem Vektorfeld der Dimension sein $n$ so dass für einige Mengen $p^{(j)}_i$ wir haben

F_{J} = P_{1}^{(J)} e_{1} + P_{2}^{(J)} e_{2} + \dots + P_{N}^{(J)} e_{N}

$f_j = p^{(j)}_1 e_1 + p^{(j)}_2 e_2 + \dots + p^{(j)}_n e_n$ Shilov definiert nun die Matrix der Transformation von Basis $\{e\}$ zu gründen $\{f\}$ als

P = [\begin{matrix} P_{1}^{(1)} & P_{1}^{(2)} & \dots & P_{1}^{(N)} \\ P_{2}^{(1)} & P_{2}^{(2)} & \dots & P_{2}^{(N)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ P_{N}^{(1)} & P_{N}^{(2)} & \dots & P_{B}^{(N)} \end{matrix}]

$P = \begin{bmatrix} p^{(1)}_1 & p^{(2)}_1 & \dots & p^{(n)}_1 \\ p^{(1)}_2 & p^{(2)}_2 & \dots & p^{(n)}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p^{(1)}_n & p^{(2)}_n & \dots & p^{(n)}_b \end{bmatrix}$ So,

P

$P$ ist die Matrix mit Komponenten von

f_{i}

$f_i$ in Bezug auf die Grundlage

e

${e}$ als Säulen.

Angenommen, wir haben einen Vektor $x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + \dots + \xi_n e_n = \eta_1 f_1 + \dots + \eta_n f_n$ . Dann behauptet der Autor, dass die Matrix die Transformation aus den Komponenten beschreibt $\xi_1, \dots, \xi_n$ zu den Komponenten $\eta_1, \dots , \eta_n$ Ist

S = (P^{- 1})^{T}

$S = (P^{-1})^T$ Nach meinem Verständnis ist die "Matrix, die die Transformation aus den Komponenten beschreibt

ξ_{1}, \dots, ξ_{n}

$\xi_1, \dots, \xi_n$ zu den Komponenten

η_{1}, \dots, η_{n}

$\eta_1, \dots , \eta_n$ " bedeutet, dass

S [\begin{matrix} ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ⋮ \\ ξ_{N} \end{matrix}] = [\begin{matrix} η_{1} \\ η_{2} \\ ⋮ \\ η_{N} \end{matrix}]

$S\begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n \end{bmatrix}$ Dies scheint jedoch nicht der Fall zu sein. Betrachten Sie ein Beispiel, wo

e_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], e_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], e_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

$e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ Und

f_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], f_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], f_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

$f_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, f_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, f_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ . Dann wird die Matrix der Transformation aus

{e}

$\{e\}$ Zu

{f}

$\{f\}$ und die jeweilige Komponententransformationsmatrix ist

P = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}] S = {[\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]}^{T} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \quad S = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ Wenn wir jedoch versuchen, den Vektor damit zu transformieren

[5, 1, 2]_{{e}} = [5, - 4, 1]_{{f}}

$[5, 1, 2]_{\{e\}} = [5, -4, 1]_{\{f\}}$ wir bekommen

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ Was ich nicht erwartet hatte. Wenn wir jedoch stattdessen nehmen

S = P^{- 1}

$S = P^{-1}$ , es scheint zu klappen:

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}$ Verstehe ich also falsch, was die Komponententransformationsmatrix bewirken soll, oder habe ich sie konstruiert?

P

$P$ falsch? Ich habe mein Bestes getan, um die Definitionen so zu schreiben, wie sie im Text stehen, aber es ist sehr wahrscheinlich, dass ich nur meine Indizes verwechselt habe.

Raman Aliakseyeu

PS: Ein pdf des Textes ist hier verfügbar . Der relevante Abschnitt ist Kapitel 5, Abschnitte 5.1-3, Seiten 118-123.

Antworten (2)

Vektorkomponenten-Transformationsmatrix in Shilovs linearer Algebra

PS: Ein pdf des Textes ist hier verfügbar . Der relevante Abschnitt ist Kapitel 5, Abschnitte 5.1-3, Seiten 118-123.

leap · Answer 1

Legen wir fest $\mathcal{E} = (e_1, \dots, e_n)$ Und $\mathcal{F} = (f_1, \dots, f_n)$ . Lassen Sie uns auch die Koordinaten eines Vektors bezeichnen $v$ in Bezug auf eine Basis $\mathcal{E}$ (dargestellt als Spaltenvektor) durch $[v]_{\mathcal{E}}$ . Dann

v = [\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}], [v]_{E} = [\begin{matrix} ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}], [v]_{F} = [\begin{matrix} η_{1} \\ η_{2} \\ η_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}] .

$v = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \, [v]_{\mathcal{E}} = \begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \, [v]_{\mathcal{F}} = \begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}.$

Zunächst einmal scheint es, dass Sie die Rolle von haben $S$ Und $P^{-1}$ in Ihrer Frage umgekehrt, wie Sie es tatsächlich haben

P^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}], S = {(P^{- 1})}^{T} = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

$P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \,\,\, S = \left( P^{-1} \right)^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$ Auch die später durchgeführten Multiplikationen sind nicht korrekt. Ihre eigentliche Schlussfolgerung trifft jedoch zu: Um die Koordinaten von zu berechnen

[v]_{F}

$[v]_{\mathcal{F}}$ aus

[v]_{E}

$[v]_{\mathcal{E}}$ , du musst multiplizieren

[v]_{E}

$[v]_{\mathcal{E}}$ von

P^{- 1}

$P^{-1}$ , nicht

{(P^{- 1})}^{T}

$\left( P^{-1} \right)^T$ . Dies ist die Bedeutung von Gleichung

(12)

$(12)$ Shilov schreibt auf Seite 122 (wo

Q = P^{- 1}

$Q = P^{-1}$ ).

Allerdings liegt Shilov auch nicht ganz falsch, wenn er behauptet, dass die Matrix „die Transformation aus den Komponenten beschreibt $\xi_1,\dots,\xi_n$ zu den Komponenten $\eta_1,\dots,\eta_n$ Ist $\left( P^{-1} \right)^T$ ". Warum? Wenn Sie explizit schreiben $Q [v]_{\mathcal{E}} = [v]_{\mathcal{F}}$ (Gleichung $(12)$ ) du erhältst

η_{1} = Q_{1}^{(1)} ξ_{1} + \dots + Q_{1}^{(N)} ξ_{N}, \dots, η_{N} = Q_{N}^{(1)} ξ_{1} + \dots + Q_{N}^{(N)} ξ_{N} .

$\eta_1 = q_1^{(1)} \xi_1 + \dots + q^{(n)}_1 \xi_n, \\ \dots, \\ \eta_n = q_n^{(1)} \xi_1 + \dots + q^{(n)}_n \xi_n.$

Wenn Sie an die Komponenten denken $\xi_1, \dots, \xi_n$ Und $\eta_1, \dots, \eta_n$ als zwei "Basen" und vergleiche diese Gleichung mit der Gleichung, die du am Anfang der Frage geschrieben hast, wirst du sehen, dass die "Matrix der Transformation von der Basis $\{ \xi \}$ zur Grundlage $\{ \eta \}$ „ist eigentlich $Q^T$ und nicht $Q$ . Um diese Aussage zu präzisieren, muss man duale Räume diskutieren und dann werden die "Komponenten" eines Vektors in Bezug auf eine Basis zur dualen Basis zur ursprünglichen Basis und der Matrix $\left( P^{-1} \right)^T$ wird zur Basiswechselmatrix zwischen den dualen Basen.

Sie haben Recht, dass die Multiplikation falsch ist, ich glaube, ich habe sie falsch von meinem Scratchwork abgeschrieben. Ich denke auch, dass Shilovs Aussagen jetzt Sinn machen, was er sagte, war einfach nicht etwas, von dem ich erwartet hatte, dass er es meinen würde. Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Mason · Answer 2

Lassen $B_1 = \{e_1, \dots, e_n\}$ , $B_2 = \{f_1, \dots, f_n\}$ . Dann $P = M_{B_2}^{B_1}(I)$ , Bedeutung $P$ stellt die Identitätskarte in den Basen dar $B_2$ , $B_1$ . Es scheint, dass $S = M_{B_1}^{B_2}(I)$ . Also tatsächlich $S = P^{-1}$ wegen der allgemeinen Identität $M_{B_2}^{B_3}(T)M_{B_1}^{B_2}(S) = M_{B_1}^{B_3}(TS)$ , im Wesentlichen durch die Definition der Matrixmultiplikation.

Bearbeiten: Lass $V$ Und $W$ seien endlichdimensionale Vektorräume über Körper $F$ Und $T \colon V \to W$ sei eine lineare Abbildung. Vermuten $B_1 = \{v_1, \dots, v_n\}$ ist eine Grundlage von $V$ Und $B_2 = \{w_1, \dots, w_m\}$ ist eine Grundlage von $W$ . Dann $A = M_{B_1}^{B_2}(T)$ ist ein $m \times n$ Matrix mit Einträgen in $F$ Wo $Tv_j = \sum_{i = 1}^{m}a_{ij}w_j$ . Das heißt, die $j$ te Spalte von $A$ sind die Koordinaten von $Tv_j$ in der Grundlage $\{w_1, \dots, w_m\}$ .

@RamanAliakseyeu Ich habe die Notation definiert. Die Notation ist vielleicht nicht Standard, aber die Matrix selbst ist Standard; $A$ wird üblicherweise als Matrixdarstellung von bezeichnet $T$ .

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Raman Aliakseyeu

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