Ist die Menge SSS von Vektoren linear unabhängig?

S = { u , v , w } ist eine Teilmenge von R 3 , wo bekannt ist, dass es ein Invertierbares gibt 3 × 3 Matrix D so dass u D = ( 1 , 2 , 3 ) , v D = ( 4 , 5 , 6 ) , Und w D = ( 5 , 7 , 9 ) .

Ist der Satz S von Vektoren linear unabhängig?

Unten ist, was ich getan habe:

w D = ( 5 , 7 , 9 ) = ( 1 , 2 , 3 ) + ( 4 , 5 , 6 ) = u D + v D
Seit w B ist ein redundanter Vektor, w ist ebenfalls ein redundanter Vektor. Daher Satz von Vektoren, die enthalten w ist linear abhängig.

Ist an meiner Erklärung etwas falsch?

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Schreiben Sie die Definition der linearen Unabhängigkeit für auf S . Was bedeutet multiplikation mit D dazu tun?
( 1 , 2 , 3 ) + ( 4 , 5 , 6 ) = ( 5 , 7 , 9 ) ⇒ ....
Danke für den Hinweis. Ich habe die notwendigen Änderungen vorgenommen, hoffe, dass die Dinge jetzt viel klarer sind.
Sie haben gezeigt, dass das Set { u D , v D , w D } linear abhängig ist, aber wie schließt man daraus das { u , v , w } ist auch?
@amd Ich denke darüber nach, die Matrix D als eine Form einer Skalarkonstante zu behandeln. In diesem Fall, u D , v D , w D wäre nur die lineare Kombination von u , v , w .

Antworten (2)

Sie haben gezeigt, dass das Set { u D , v D , w D } linear abhängig ist, haben aber nicht begründet, warum dies dies impliziert { u , v , w } ist ebenfalls linear abhängig. Nehmen wir als Gegenbeispiel an, dass u , v Und w sind die Standardbasisvektoren von R 3 Und

D = [ 1 2 3 4 5 6 5 7 9 ] .
Dann u D = ( 1 , 2 , 3 ) , v D = ( 4 , 5 , 6 ) Und w D = ( 5 , 7 , 9 ) , Aber u , v Und w sind linear unabhängig.

Der Schlüssel ist das D ist invertierbar. Das kann man also sagen

0 = 0 D − 1 = ( u D + v D − w D ) D − 1 = u D D − 1 + v D D − 1 − w D D − 1 = u + v − w .

Ein Nichtsingular N × N Matrix ist eine Basiswechselmatrix (von der aus den Spalten bestehenden Basis zur Standardbasis). Daher nimmt es immer eine Basis zu einer Basis. Da dies bei der Anwendung nicht passiert ist { u , v , w } (wie Sie gezeigt haben), ist es keine Grundlage ...

Ist die Menge SSS von Vektoren linear unabhängig?
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