Positive semidefinite Matrix

Question

Positive semidefinite Matrix

Matrizen
Mathematik
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Lineare Algebra

Benutzer506901

Nehmen Sie eine quadratische symmetrische Matrix an $V$ gegeben ist

$V=\left(\begin{array}{ccccc} \sum w_{1s} & & & & \\ & \ddots & & -w_{ij} \\ & & \ddots & & \\ & -w_{ij} & & \ddots & \\ & & & & \sum w_{ns} \end{array}\right) \in\mathbb{R}^{n\times n},$

mit Werten $w_{ij}> 0$ , also mit nur positiven Diagonaleinträgen. Da die obige Matrix diagonal dominant ist, ist sie positiv semidefinit. Allerdings frage ich mich, ob man das beweisen kann

$a\cdot diag(V)-V~~~~~a\in[1, 2]$

ist ebenfalls positiv semidefinit. ( $diag(V)$ bezeichnet eine Diagonalmatrix, deren Einträge die von sind $V$ , also alles positiv) Im Falle von $a=2$ , das Ergebnis

$2\cdot diag(V)-V$

ist auch diagonal dominant (positiv semidefinit), aber es ist möglich, dies zu beweisen $a\in[1,2]$ ? ..........................................

Beachten Sie, dass der obige Beweis mein eigentliches Problem erleichtern würde; ist es möglich zu beweisen

$tr[(X-Y)^T[a\cdot diag(V)-V](X-Y)]\geq 0$ ,

Wo $tr(\cdot)$ bezeichnet Matrixspur, z $X, Y\in\mathbb{R}^{n\times 2}$ Und $a\in[1,2]$ ?

Beachte das auch

$tr(Y^TVY)\geq tr(X^TVX)$ Und $tr(Y^Tdiag(V)Y)\geq tr(X^Tdiag(V)X)$ .

(Wenn das die Suche erleichtert, nimm an $a=1$ )

.................................................... ...

Da die positive Halbbestimmtheit nicht allgemein gewährleistet werden konnte $a<2$ , wirft das Problem auf: für welche Einschränkungen auf a gilt die positive Halbbestimmtheit von a⋅diag(V)−V noch?

Beachten Sie den Kommentar von DavideGiraudo und seine Behauptung für den Fall $w_{ij}=1$ , für alle $i,j$ . Könnte etwas ähnliches für allgemein abgeleitet werden $w_{ij}$ ≥0?

David Giraudo

Wenn

n = 2

$n=2$ Und

a = 1

$a=1$ Dann

diag (V) - V = (\begin{matrix} 0 & w_{1, 2} \\ w_{1, 2} & 0 \end{matrix})

$\operatorname{diag}(V)-V=\pmatrix{0&w_{1,2}\\\ w_{1,2}&0}$ was seither nicht positiv definit ist

{(\begin{matrix} 1, - 1 \end{matrix})}^{t} (\begin{matrix} 0 & w_{1, 2} \\ w_{1, 2} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1, - 1 \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 1, - 1 \end{matrix})}^{t} (\begin{matrix} - w_{1, 2} \\ w_{1, 2} \end{matrix}) = - 2 w_{1, 2} < 0

$\pmatrix{1,-1}^t\pmatrix{0&w_{1,2}\\\ w_{1,2}&0}\pmatrix{1,-1}=\pmatrix{1,-1}^t\pmatrix{-w_{1,2}\\\ w_{1,2}}=-2w_{1,2}<0$ .

David Giraudo

Wenn wir nehmen

w_{i, j} = 1

$w_{i,j}=1$ für alle

i

$i$ Und

j

$j$ Dann

a diag (V) - V

$a\operatorname{diag}(V)-V$ hat die Eigenwerte

(a - 1) + n - 1

$(a-1)+n-1$ Und

(a - 1) n - 1

$(a-1)n-1$ also brauchten wir

a - 1 \geq \frac{1}{n}

$a-1\geq \frac 1n$ .

Benutzer506901

Ich nehme an, das erste impliziert: falls der Vektor

x

$x$ für die positive Halbbestimmtheit einer Matrix berücksichtigt

A

$A$ ,

x^{T} A x

$x^TAx$ , hat die Elemente das gleiche Zeichen, dann folgt Halbbestimmtheit. Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Beobachtung aus dem zweiten Kommentar allgemein übersetzen könnte

w_{i j} > 0

$w_{ij}>0$ .

Kardinal

Vielleicht können Sie uns mehr darüber erzählen, was Sie wirklich zu lösen versuchen.

V

$V$ ist beispielsweise der Graph Laplace eines ungerichteten Graphen ohne Selbstschleifen.

Benutzer506901

Beachten Sie die Bearbeitung der Frage. Nun, offensichtlich, wenn ich das erste gelöst habe, ist das zweite gelöst.

Benutzer506901

@ DavidGiraudo: Könnten Sie einen Beweis für die Eigenwerte der Matrix liefern

a d i a g (V) - V

$a diag(V)-V$ im Falle von

w_{i j} = 1

$w_{ij}=1$ ?

Antworten (2)

Positive semidefinite Matrix

Wenn $n=2$ Und $a=1$ Dann $\operatorname{diag}(V)-V=\pmatrix{0&w_{1,2}\\\ w_{1,2}&0}$ was seither nicht positiv definit ist $\pmatrix{1,-1}^t\pmatrix{0&w_{1,2}\\\ w_{1,2}&0}\pmatrix{1,-1}=\pmatrix{1,-1}^t\pmatrix{-w_{1,2}\\\ w_{1,2}}=-2w_{1,2}<0$ .
Wenn wir nehmen $w_{i,j}=1$ für alle $i$ Und $j$ Dann $a\operatorname{diag}(V)-V$ hat die Eigenwerte $(a-1)+n-1$ Und $(a-1)n-1$ also brauchten wir $a-1\geq \frac 1n$ .
Ich nehme an, das erste impliziert: falls der Vektor $x$ für die positive Halbbestimmtheit einer Matrix berücksichtigt $A$ , $x^TAx$ , hat die Elemente das gleiche Zeichen, dann folgt Halbbestimmtheit. Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Beobachtung aus dem zweiten Kommentar allgemein übersetzen könnte $w_{ij}>0$ .
Vielleicht können Sie uns mehr darüber erzählen, was Sie wirklich zu lösen versuchen. $V$ ist beispielsweise der Graph Laplace eines ungerichteten Graphen ohne Selbstschleifen.
Beachten Sie die Bearbeitung der Frage. Nun, offensichtlich, wenn ich das erste gelöst habe, ist das zweite gelöst.
@ DavidGiraudo: Könnten Sie einen Beweis für die Eigenwerte der Matrix liefern $a diag(V)-V$ im Falle von $w_{ij}=1$ ?

Sunni · Answer 1

Sunni

Behauptung: Für eine symmetrische reelle Matrix $A$ , Dann $tr(X^TAX)\ge 0$ für alle $X$ dann und nur dann, wenn $A$ ist positiv semidefinit.

Benutzer506901

Bereits Davide Giraudo hat gezeigt, dass die positive Halbbestimmtheit nicht allgemein gilt; aber er entwickelte interessante Bedingungen für

w_{i j} = 1

$w_{ij}=1$ für alle

i, j

$i,j$ . Wenn Sie einstellen

a = 1.5

$a=1.5$ für

n > 2

$n>2$ , Und

w_{i j} = 1

$w_{ij}=1$ , dann die resultierende Matrix

1.5 d i a g (V) - V

$1.5 diag(V)-V$ ist positiv semidefinit. Nun stellt sich die Frage: Reicht es aus, das zu beweisen?

a \cdot d i a g (V) - V

$a\cdot diag(V)-V$ ist nicht

d i a g o n a l l y

$diagonally$

d o m i n a n t

$dominant$ um die Bedingung aus meiner letzten Bearbeitung zu widerlegen.

Benutzer506901

Da die positive Halbbestimmtheit nicht allgemein gewährleistet werden konnte

a < 2

$a<2$ , das Problem wirft auf: für welche Einschränkungen

a

$a$ tut die positive Halbbestimmtheit von

a \cdot d i a g (V) - V

$a\cdot diag(V)-V$ noch halten? Beachten Sie den Kommentar von DavideGiraudo von oben und seine Behauptung für den Fall

w_{i j} = 1

$w_{ij}=1$ . Könnte etwas ähnliches für allgemein abgeleitet werden

w_{i j} \geq 0

$w_{ij}\geq 0$ ?

David Giraudo · Answer 2

Im Falle $w_{ij}=1$ wir haben $V=\pmatrix{n&-1&-1&\cdots &-1 \\\ -1&n&-1&\ldots &-1 \\\ \vdots&\vdots&\ddots& &-1\\\ -1&-1&-1&\ldots&n}$ Und

M_{A} := A diag (v) - v = (\begin{matrix} N (A - 1) & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & N (A - 1) & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & N (A - 1) \end{matrix}) .

$M_a:=a\operatorname{diag}(V)-V=\pmatrix{n(a-1)&1&1&\cdots &1 \\\ 1&n(a-1)&1&\ldots &1 \\\ \vdots&\vdots&\ddots& &1\\\ 1&1&1&\ldots&n(a-1)}.$ Wir können die Determinante berechnen

det (M_{a} - X I_{n})

$\det(M_a-XI_n)$ Fügen Sie der ersten Zeile alle anderen hinzu. Wir bekommen

det (M_{A} - X {ICH}_{N}) = (N (A - 1) - (N - 1) X) (N (A - 1) - 1 - X)^{N - 1},

$\det(M_A-XI_N)=(n(a-1)-(n-1)X)(n(a-1)-1-X)^{n-1},$ und wenn wir wollen

M_{a}

$M_a$ positiv semi-definite sollten wir haben

n (a - 1) - 1 \geq 0

$n(a-1)-1\geq 0$ So

a - 1 \geq \frac{1}{n}

$a-1\geq\frac 1n$ .

Positive semidefinite Matrix

Benutzer506901

David Giraudo

David Giraudo

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Kardinal

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Sunni

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David Giraudo

Benutzer506901

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