Sei p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} ein Polynom. Beweise, dass ∃∃\existiert ein Polynom qqq mit rationalen Koeffizienten st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Question

Sei p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} ein Polynom. Beweise, dass ∃∃\existiert ein Polynom qqq mit rationalen Koeffizienten st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Mathematik
Polynome
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Sonne

Lassen $p:[-1,1] \to \mathbb{R}$ ein Polynom sein. Beweisen Sie das für jeden $\epsilon \gt0, \exists$ ein Polynom $q:[-1,1] \to \mathbb{R}$ mit rationalen Koeffizienten st $\Vert p-q \Vert_\infty \lt \epsilon$ .

Mein Gesamtansatz besteht darin, ein Polynom mit rationalen Koeffizienten zu konstruieren.

Nachweisen:

Lassen $\epsilon \gt 0$ gegeben und sei ein Polynom $p$ gegeben werden. Lassen $p(x) = a_0 + a_1x+ a_2x^2 +\dots+ a_nx^n$ für einige $n \in \mathbb{N}$ Und $a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ .

Definiere ein Polynom $q(x) = b_0 + b_1x +\dots+b_nx^n$ , wobei jeder Koeffizient $b_i$ ist definiert durch:

$\displaystyle b_i = \frac{l_i}{m_i}$ Wo $l_i,m_i \in \mathbb{N}, m_i \neq 0$ , st $\displaystyle \left| \frac{l_i}{m_i} -a_i \right| \lt \frac{\epsilon}{n+1}$ .

Dann

\begin{aligned} | P (X) - Q (X) | & = | (A_{0} - \frac{l_{0}}{M_{0}}) + (A_{1} - \frac{l_{1}}{M_{1}}) X + \dots + (A_{N} - \frac{l_{N}}{M_{N}}) X^{N} | \\ \leq | A_{0} - \frac{l_{0}}{M_{0}} | + | A_{1} - \frac{l_{1}}{M_{1}} | \cdot | X | + \dots + | A_{N} - \frac{l_{N}}{M_{N}} | \cdot | X^{N} | \\ \leq \frac{ϵ}{N + 1} + \frac{ϵ}{N + 1} \cdot | X | + \dots + \frac{ϵ}{N + 1} \cdot | X^{N} | \\ \leq \frac{ϵ}{N + 1} (N + 1) \\ = ϵ . \end{aligned}

$\begin{align} \displaystyle |p(x)-q(x)| & = \left| \left(a_0-\frac{l_0}{m_0}\right) + \left(a_1-\frac{l_1}{m_1}\right)x + \dots + \left(a_n-\frac{l_n}{m_n}\right)x^n\right| \\ & \leq \left| a_0-\frac{l_0}{m_0} \right| + \left| a_1-\frac{l_1}{m_1} \right| \cdot |x| + \dots + \left| a_n-\frac{l_n}{m_n} \right| \cdot |x^n| \\ & \leq \frac{\epsilon}{n+1} + \frac{\epsilon}{n+1} \cdot |x| + \dots + \frac{\epsilon}{n+1} \cdot |x^n| \\ & \leq \frac{\epsilon}{n+1} (n+1) \\ & = \epsilon . \end{align}$

So $|p(x) - q(x)| \lt \epsilon, \ \forall x \in [-1,1]$ , Dann $\Vert p-q \Vert_\infty \lt \epsilon$ .

$\Box$

Ich hätte gerne ein Feedback zur allgemeinen Korrektheit, zum Stil sowie zur Vereinfachung, falls möglich.

Danke schön.

Reveillark

Dein Beweis ist richtig. Es wäre notational einfacher, das nicht anzugeben

b_{i}

$b_i$ als Brüche, da dies für die vorliegende Angelegenheit irrelevant ist; in dem Sinne, dass sie Schlüsseleigenschaft von

Q

$\mathbb{Q}$ ist seine Dichte. Tatsächlich funktioniert Ihr Beweis für Polynome mit Koeffizienten in jeder dichten Menge.

Daniel Wainfleet

Wie @Reveillark sagte, sag einfach

b_{i} \in Q

$b_i\in \Bbb Q$ und jeweils ersetzen

l_{i} / m_{i}

$l_i/m_i$ mit

b_{i}

$b_i$ ....und zwecks besserem Style vorher in der Hauptanzeige darüber

p (x) - q (x)

$p(x)-q(x)$ , ersetzen Sie "Dann" durch "Dann für alle

x \in [0, 1]

$x\in [0,1]$ wir haben". Ganz richtige Arbeit.

Daniel Wainfleet

Meine Bearbeitung war, einen Punkt danach zu setzen

ϵ

$\epsilon$ in der vorletzten Zeile. Ich lobe Sie für Ihren Stil: Grammatisch vollständige Sätze, logisch zusammenhängend.

Daniel Wainfleet

Sie können auch die Summenschreibweise verwenden

\sum

$\sum$ anstatt

+ . . . +

$+...+$ aber das würde ich als geschmackssache bezeichnen. Aber im Abschnitt über

| p (x) - q (x) |

$|p(x)-q(x)|$ Sie sollten die Begriffe löschen, die enthalten

a_{1},

$a_1,$ weil sie unnötig sind und weil es das sein kann

n = 0.

$n=0.$ ... Ich habe einige Fehler in meinen anderen Kommentaren, aber es ist zu spät, sie zu bearbeiten.

Antworten (1)

Sei p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} ein Polynom. Beweise, dass ∃∃\existiert ein Polynom qqq mit rationalen Koeffizienten st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Dein Beweis ist richtig. Es wäre notational einfacher, das nicht anzugeben $b_i$ als Brüche, da dies für die vorliegende Angelegenheit irrelevant ist; in dem Sinne, dass sie Schlüsseleigenschaft von $\mathbb{Q}$ ist seine Dichte. Tatsächlich funktioniert Ihr Beweis für Polynome mit Koeffizienten in jeder dichten Menge.
Wie @Reveillark sagte, sag einfach $b_i\in \Bbb Q$ und jeweils ersetzen $l_i/m_i$ mit $b_i$ ....und zwecks besserem Style vorher in der Hauptanzeige darüber $p(x)-q(x)$ , ersetzen Sie "Dann" durch "Dann für alle $x\in [0,1]$ wir haben". Ganz richtige Arbeit.
Meine Bearbeitung war, einen Punkt danach zu setzen $\epsilon$ in der vorletzten Zeile. Ich lobe Sie für Ihren Stil: Grammatisch vollständige Sätze, logisch zusammenhängend.
Sie können auch die Summenschreibweise verwenden $\sum$ anstatt $+...+$ aber das würde ich als geschmackssache bezeichnen. Aber im Abschnitt über $|p(x)-q(x)|$ Sie sollten die Begriffe löschen, die enthalten $a_1,$ weil sie unnötig sind und weil es das sein kann $n=0.$ ... Ich habe einige Fehler in meinen anderen Kommentaren, aber es ist zu spät, sie zu bearbeiten.

Benutzer284331 · Answer 1

Eine kompakte Schreibweise vielleicht:

Wählen $b_{i}\in\mathbb{Q}$ so dass $|a_{i}-b_{i}|<\epsilon/(n+1)$ , dann für $x\in[-1,1]$ ,

\begin{aligned} | P (X) - Q (X) | & = | \sum_{ich = 0}^{N} (A_{ich} - B_{ich}) X^{ich} | \\ \leq \sum_{ich = 0}^{N} | A_{ich} - B_{ich} | | X |^{ich} \\ \leq \sum_{ich = 0}^{N} | A_{ich} - B_{ich} | \\ < \sum_{ich = 0}^{N} \frac{ϵ}{N + 1} \\ = ϵ, \end{aligned}

$\begin{align*} |p(x)-q(x)|&=\left|\sum_{i=0}^{n}(a_{i}-b_{i})x^{i}\right|\\ &\leq\sum_{i=0}^{n}|a_{i}-b_{i}||x|^{i}\\ &\leq\sum_{i=0}^{n}|a_{i}-b_{i}|\\ &<\sum_{i=0}^{n}\dfrac{\epsilon}{n+1}\\ &=\epsilon, \end{align*}$ So

‖ p - q ‖ \leq ϵ

$\|p-q\|\leq\epsilon$ .

Sei p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} ein Polynom. Beweise, dass ∃∃\existiert ein Polynom qqq mit rationalen Koeffizienten st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Sonne

Reveillark

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Benutzer284331

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Suche nach gegebener Obergrenze, Epsilon.

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