Können Sie bitte meinen Beweis für diese Grenze der Ableitung überprüfen?

Question

Können Sie bitte meinen Beweis für diese Grenze der Ableitung überprüfen?

Mathematik
Realanalyse
Proof-Verifizierung

neugeb

Folgendes habe ich bewiesen:

Wenn $f$ ist auf einem Intervall enthaltend differenzierbar $0$ und wenn $\lim_{x > \to 0} f'(x) = L$ Dann $f'(0) = L$ .

Können Sie mir bitte sagen, ob mein Beweis richtig ist:

Durch Widerspruch annehmen $f'(0) \neq L$ . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen $f'(0) > L$ . Auch ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen $L>0$ . Seit $\lim_{x \to 0} f'(x) = L$ es existiert $\delta > 0$ so dass

0 < | X | < δ ⟹ | F^{'} (X) - L | < \frac{L}{2}

$0 < |x|<\delta \implies |f'(x) -L|<{L\over 2}$

was impliziert, dass für $0 < |x|<\delta$ das hält es $0 \le f'(x)<{L\over 2}$ . Fix $x_0>0$ mit $f'(x_0)< {L \over 2}$ . Dann

F^{'} (0) > L > \frac{L}{2} > F^{'} (X_{0})

$f'(0) > L > {L\over 2}>f'(x_0)$

aber es gibt keinen $c \in (0,x_0)$ mit $f'(c) = L$ was ein Widerspruch zum Satz von Darboux ist. Daher muss es das halten $f'(0) = L$ .

neugeb

@Thomas Danke für deinen Kommentar. Aber

f

$f$ ist also auf einem Null enthaltenden Intervall differenzierbar

f

$f$ ist also zu Null differenzierbar

f^{'} (0)

$f' (0)$ existiert. Warum kann ich nicht so argumentieren?

Thomas

ja, du hast recht. Ich dachte an den Fall wo

0

$0$ liegt an der Grenze des Intervalls. Ich bin dumm, sorry.

neugeb

@Thomas Überhaupt kein Problem. Aber unter der Annahme, dass es existiert, ist mein Beweis korrekt? Fühlen Sie sich frei, eine Antwort zu posten, damit ich Ihre Bemühungen angemessen belohnen kann.

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Können Sie bitte meinen Beweis für diese Grenze der Ableitung überprüfen?

@Thomas Danke für deinen Kommentar. Aber $f$ ist also auf einem Null enthaltenden Intervall differenzierbar $f$ ist also zu Null differenzierbar $f' (0)$ existiert. Warum kann ich nicht so argumentieren?
ja, du hast recht. Ich dachte an den Fall wo $0$ liegt an der Grenze des Intervalls. Ich bin dumm, sorry.
@Thomas Überhaupt kein Problem. Aber unter der Annahme, dass es existiert, ist mein Beweis korrekt? Fühlen Sie sich frei, eine Antwort zu posten, damit ich Ihre Bemühungen angemessen belohnen kann.

Thomas · Answer 1

Thomas

Hmm, ich habe meine Zweifel, wie Sie zu dem Ergebnis kommen $f^\prime(x) < \frac{L}{2}$ . Ich bekomme $f^\prime(x)< \frac{3L}{2}$ oder $f^\prime(x) >\frac{1}{2}$ Außerdem sollten Sie, vorausgesetzt, Sie können das nachweisen, zumindest erklären, warum Sie das annehmen können $L\neq 0$ , da Sie diese Tatsache explizit nutzen (das ist natürlich einfach, Sie können z. B. einfach hinzufügen $ax$ Zu $f$ )

Ehrlich gesagt finde ich die Herangehensweise auch zu kompliziert. Ich hoffe, es macht Ihnen nichts aus, wenn ich einen einfacheren Ansatz vorschlage: durch den Mittelwertsatz für jeden $x$ nahe $0$ Es gibt $c\in (0,x)$ (oder $\in (x, 0)$ , je nach Vorzeichen von $x$ ), so dass

\frac{F (X) - F (0)}{X} = F^{'} (C)

$\frac{f(x)-f(0)}{x} = f^\prime(c)$ Nun, wenn Sie lassen

x \to 0

$x\rightarrow 0$ Sie erhalten die Behauptung sofort aus der Definition der Differenzierbarkeit und der Annahme über die Konvergenz von

f^{'}

$f^\prime$ (da natürlich die entsprechende

c \to 0

$c\rightarrow 0$ , sowie).

Dieser Gedankengang hat mich tatsächlich dazu veranlasst, meinen ersten Kommentar zu schreiben, der jetzt gelöscht wurde (der besagte, dass Sie das erst zeigen müssen $f^\prime(0)$ existiert). Mit dieser Argumentation muss man das nicht wissen $f$ ist differenzierbar bei $0$ , Sie erhalten es kostenlos.

neugeb

Du hast recht, es ist

3 L / 2

$3 L / 2$ . Aber das Argument funktioniert auch mit

3 L / 2

$3L/2$ . Und es ist ein guter Punkt, dass ich erklären sollte, warum

L \neq 0

$L \neq 0$ . Ist der Beweis ansonsten korrekt? Diese Frage kam nach dem Lesen von Teilen eines Buches auf und der Mittelwertsatz wird erst später diskutiert, also versuche ich es ohne MVT zu beweisen.

Thomas

Aus Neugier: Woher kennen Sie das Darboux-Theorem, ohne MVT zu verwenden? Auf die Frage: wie funktioniert das Argument mit

3 L / 2

$3L/2$ ? Du weißt es nur

f^{'} (0) > L

$f^\prime(0) >L$

neugeb

Du hast recht es geht nicht. Aber statt

| f^{'} (x) - L | < \frac{L}{2}

$|f'(x) -L|<{L\over 2}$ ich könnte benutzen

| f^{'} (x) - L | < L + \frac{| L - f^{'} (0) |}{2}

$|f'(x) -L|< L + {|L - f'(0)|\over 2}$ und dann sollte es funktionieren. Der Satz von Darboux ist leicht zu beweisen (ohne MVT) und wird zum Beweis von MVT verwendet. Aber nicht umgekehrt?

neugeb

Nein, ich verstehe. Meine Argumentation ist fehlerhaft.

M. Van

@Thomas Ich bin über math.stackexchange.com/q/766015/337283 hierher gekommen , wo Sie sagten, dass Sie diesen Beitrag für das Argument der Differenzierbarkeit sehen können. Ich bezweifle jedoch, dass dieses Argument die zweite Frage des obigen Links löst, da Sie für die Anwendung des Mittelwertsatzes wissen müssen

f

$f$ ist differenzierbar bei

0

$0$ , oder im Fall des Links, at

a

$a$ .

Vinzenz Bölens

@M.Van Das ist falsch, die Annahme für den Mittelwertsatz ist Kontinuität

[a, b]

$[a,b]$ und Differenzierbarkeit auf

(a, b)

$(a,b)$ .

M. Van

Ah, das wusste ich nicht, das Gegenbeispiel, das ich im Sinn hatte, war tatsächlich nicht kontinuierlich

a

$a$ . Mein Fehler!

Stefan Oktavian

Es tut mir leid, dass ich eine 6 Jahre alte Frage kommentiert habe. Ich weiß, dass das erneute Lesen wahrscheinlich einige Zeit in Anspruch nehmen wird (sowohl die Frage als auch die Antwort vielleicht), aber Ihre Beweismethode geht davon nicht aus

f^{'}

$f'$ ist stetig bei 0? Ich habe in den letzten Tagen über diesen Beweis nachgedacht und wenn Sie das Limit erreichen

lim_{x \to 0} f^{'} (c (x))

$\lim_{x\to 0} f'(c(x))$ Sie verwenden den Satz, der das sagt

lim f (g (x)) = f (lim g (x))

$\lim f(g(x)) = f(\lim g(x))$ Wenn

f

$f$ ist stetig bei

lim g (x)

$\lim g(x)$ . Auf diese Weise verwenden Sie die Schlussfolgerung als Teil des Beweises.

Thomas

@StefanOctavian Nein, habe ich nicht. Die Frage geht davon aus, dass der Grenzwert der Ableitung wann existiert

x \to 0

$x\rightarrow 0$ . Was dann durch die obige Argumentation gezeigt werden kann, ist, dass die Ableitung bei existiert

x = 0

$x= 0$ (dies wird auch in der Frage vorausgesetzt, folgt aber aus den Annahmen) und dass es in diesem Punkt tatsächlich stetig ist. Der Beweis verwendet nur die Definition der Ableitung at

x = 0

$x=0$ , als Grenze der Differenzenquotienten, und dem Mittelwertsatz (der ohne Annahme über das Verhalten bei gilt

x = 0

$x=0$ ).

Stefan Oktavian

Ich spreche von der Vertauschung von Grenzwert- und Funktionsargument auf der rechten Seite. „Nun, wenn du es zulässt

x \to 0

$x \to 0$ “, das ist die Grenze

lim_{x \to 0} f^{'} (c)

$\lim_{x\to 0} f'(c)$ und Sie gehen davon aus, dass es gleich ist

f^{'} (lim_{x \to 0} c) = f^{'} (0)

$f'(\lim_{x\to 0} c) = f'(0)$ , aber dies folgt streng aus Stetigkeit von

f^{'}

$f'$ bei 0, was noch nicht bewiesen ist.

Thomas

@StefanOctavian Es gibt keinen Grenzaustausch, ich weiß nicht, wo Sie das wahrnehmen. Ausgangspunkt ist der Differenzenquotient für

f

$f$ , für willkürlich

x

$x$ . Wenn

x \to 0

$x\rightarrow 0$ , Dann

c \to 0

$c\rightarrow 0$ Und

f^{'} (c)

$f^\prime(c)$ konvergiert nach Annahme gegen eine reelle Zahl

r

$r$ . Aber

f^{'} (c) = \frac{f (x) - f (0)}{x}

$f^\prime (c) =\frac{f(x) - f(0) }{x}$ , also wenn

f^{'} (c)

$f^\prime (c)$ konvergiert dann auch dieser Differenzenquotient gegen dieselbe Zahl. Aber das ist wiederum per Definition so

= f^{'} (0)

$=f^\prime(0)$ .

Stefan Oktavian

Oh, ich glaube, ich sehe es jetzt. Tut mir leid für das Missverständnis. Die Implikation

(f^{'} (x) \to ℓ, x \to 0) \to (f^{'} (c) \to ℓ, c \to 0, x \to 0)

$\left(f'(x) \to \ell, x \to 0\right) \rightarrow \left(f'(c) \to \ell, c \to 0, x \to 0\right)$ war das, was mir gefehlt hat, und die Art und Weise, wie dieser Beweis in mein Lehrbuch aufgenommen wurde, hat mich völlig verwirrt. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn Sie möchten, dass ich meine Kommentare lösche.

Können Sie bitte meinen Beweis für diese Grenze der Ableitung überprüfen?

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Thomas

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Vinzenz Bölens

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Thomas

Stefan Oktavian

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Suche nach gegebener Obergrenze, Epsilon.

Übergänge von 1n1n\frac{1}{n} nach ϵϵ\epsilon in reellen Analysebeweisen

Mittelwertsatz

Kritik am Beweis dafür, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist

Beweisen Sie, wenn ∑∞n=1|an|<∞∑n=1∞|an|<∞\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty, dann |∑∞n=1an|≤∑∞ n=1|an||∑n=1∞an|≤∑n=1∞|an|\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|\le \sum_{n=1}^ \infty\links|a_n\rechts|

Beweisen Sie etwas Ähnliches wie eine Variante der Cauchy-Shwarz-Ungleichung

Wenn lim supn→∞an=a<∞lim supn→∞an=a<∞\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=a< \infty, dann ist ∀ϵ>0∀ϵ>0\forall\epsilon >0 ∃N∈N:an≤a+ϵ∃N∈N:an≤a+ϵ\exists N\in \mathbb{N}:a_n\leq a+\epsilon

Sei p:[−1,1]→Rp:[−1,1]→Rp:[-1,1] \to \mathbb{R} ein Polynom. Beweise, dass ∃∃\existiert ein Polynom qqq mit rationalen Koeffizienten st ∥p−q∥∞<ϵ‖p−q‖∞<ϵ\Vert pq \Vert_\infty \lt \epsilon

Die reellwertige, differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung ist gleichmäßig stetig

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