Die reellwertige, differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung ist gleichmäßig stetig

Realwertige, differenzierbare Funktion an$\mathbb{R}$mit der beschränkten Ableitung gleichmäßig stetig ist.

Lassen$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$eine differenzierbare Funktion sein, so dass es gibt$M>0$Und$|f'(x)|<M$für alle$x\in\mathbb{R}$.

Aus dem Mittelwertsatz wissen wir das für jeden$x,y$es gibt einige$c$zwischen ihnen so dass$|f(x)-f(y)|=|f'(c)(x-y)|$. Seit$f'$ist begrenzt durch$M$, das bedeutet es$|f(x)-f(y)|<M|x-y|$. Jetzt beheben$\epsilon>0$. Wenn wir setzen$\delta=\frac{\epsilon}{M}$, wir haben$|f(x)-f(y)|<\epsilon$wann immer$|x-y|<\delta$. Dies gilt für alle$x,y \in\mathbb{R}$, damit sind wir fertig.