Beweisen oder widerlegen: Für jede ganze Zahl a, wenn a nicht kongruent zu 0 ist (mod 3), ist a^2 kongruent zu 1 (mod 3)

Beweisen oder widerlegen: Für jede ganze Zahl a, wenn a nicht kongruent zu 0 ist (mod 3), ist a^2 kongruent zu 1 (mod 3)

Also das ist für abstrakte Algebra und ich kämpfe wirklich damit. Hier sind einige der Definitionen und Theoreme, die meiner Meinung nach zutreffen würden.

-eine ganze Zahl a teilt und eine ganze Zahl b, wenn es eine ganze Zahl q gibt, so dass b=aq -sei a und b ganze Zahlen, mit a>0. Dann gibt es eindeutige ganze Zahlen q und r, so dass b= aq+r und 0<=r

Die Frage sagt Hinweis: Verwenden Sie 2 Fälle, aber ich bin mir nicht sicher, was das bedeutet. Ich vermute, es möchte, dass ich es mir ansehe, wenn a zu 0 kongruent ist und wann nicht? Also habe ich versucht, das zu tun, bin aber einfach hängen geblieben. unten ist so weit, wie ich mit diesem Versuch gekommen bin

Beweis: Fall 1 Hier sollten einige Informationen darüber stehen, Variablen in bestimmten Zahlenmengen existieren zu lassen

Angenommen, a ist nicht kongruent zu 0 mod 3, dann teilt 3 a-0 nicht, daher ist a-0 nicht gleich 3q für einige q in den ganzen Zahlen

Ich habe versucht, dies auf 3 Divisionen a ^ 2-1 zu reduzieren, aber obwohl es wahr zu sein scheint (ich konnte kein Gegenbeispiel finden), konnte ich nicht herausfinden, wie ich es mit dem beweisen soll, was ich habe.

Als nächstes habe ich versucht, es umzukehren, weil ich dachte, ich könnte ihm widersprechen oder so. Ich denke das wäre Fall 2? Angenommen, a ist kongruent zu 0 mod 3, dann teilt 3 a-0 und a-0=3q für einige q in den ganzen Zahlen, dann 3q=a, da 0 die additive Identität ist, also teilt 3 a,

und wieder stecken und mein Gehirn tut ein wenig weh. Kann mir jemand helfen, herauszufinden, wie das funktioniert.

Tipp: Nehmen Sie ein Beispiel
Wenn A \NEIN ≡ 0 ( Mod 3 ) , Dann A ≡ ± 1 ( Mod 3 ) . So A 2 ≡ ( ± 1 ) 2 ≡ 1 ( Mod 3 ) .

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Hinweis   3 teilt einen von A − 1 , A , A + 1 ,   So   3 ∤ A ⇒ 3 ∣ ( A − 1 ) ( A + 1 ) = A 2 − 1

Anmerkung   Modisch gesagt,   M Ö D   3 :   A ≢ 0 ⇒ A ≡ ± 1 ⇒ A 2 ≡ 1

Ihr wart großartig, vielen Dank für das Auslegen. Ich werde es morgen vor dem Unterricht noch einmal versuchen

Wenn A ist kein Vielfaches von 3 , muss eine von diesen gelten:

A ≡ 1 ( Mod 3 )

oder A ≡ 2 ( Mod 3 )

Grundsätzlich sagen die, dass der Rest beim Teilen ist A von 3 entweder 1 oder 2 .

Nun kann die zweite auch ausgedrückt werden als A ≡ − 1 ( Mod 3 )

So lässt sich alles prägnanter ausdrücken als A ≡ ± 1 ( Mod 3 ) ,

so dass wir leicht quadrieren können: A 2 ≡ 1 ( Mod 3 ) .

Vielen Dank, ich werde morgen wieder daran arbeiten und sehen, ob ich es mit Ihren Vorschlägen hinbekomme

Für die beiden Fälle denke ich, dass ein Fall die Ganzzahl sein lässt ( 3 N + 1 ) und der andere sein ( 3 N + 2 ) . Das Quadrieren beider zeigt, was Sie brauchen, glaube ich.

Daran hatte ich nicht gedacht. Danke das probiere ich morgen aus.

Für ein in (mod 3) gibt es drei verschiedene Arten von Zahlen:

  • a = 3m
  • a = 3m+1
  • a = 3m+2

Wir können die letzten 2 nehmen, die nicht gleich 0 sind (mod 3)

Der zweite:

A 2 = ( 3 M + 1 ) 2
= 9 M 2 + 6 M + 1
= 3 ( 3 M 2 + 2 ) + 1
= 3 k + 1 , k = 3 M 2 + 2 ∈ \Z +
≡ 1 Mod 3

Der dritte:

A 2 = ( 3 M + 2 ) 2
= 9 M 2 + 12 M + 4
= 3 ( 3 M 2 + 4 + 1 ) + 1
= 3 J + 1 , J = 3 M 2 + 4 + 1 ∈ \Z +
≡ 1 Mod 3

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